청학동 고2수학과외







부분합 표에서 먼저 확인할 변화
| n | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| Sn | 4 | 10 | 18 | 28 |
청학동과외 수업에서 위 표를 본 학생은 부분합의 차가 6, 8, 10으로 커지는 것을 보고 공차가 2인 수열이라고 판단했다. 그러나 표의 값은 항 자체가 아니라 첫째 항부터 n번째 항까지의 합이다.
한 번의 차로 일반항 복원하기
Sn=a1+a2+⋯+an이므로, n≥2에서
an=Sn−Sn−1
이다. 따라서
- a1=S1=4
- a2=10−4=6
- a3=18−10=8
- a4=28−18=10
항은 4, 6, 8, 10, …이므로 등차수열이고 공차는 2이다. 일반항은
an=4+2(n−1)=2n+2
이다.
합의 규칙과 항의 규칙을 분리해서 보기
위 항들을 더하면
Sn=∑k=1n(2k+2)=n(n+1)+2n=n(n+3)
이 된다. 실제로 n=4일 때 S4=4×7=28이므로 표와 일치한다.
새 자료에 적용한 검증
| n | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| Sn | 3 | 8 | 15 |
차를 구하면 3, 5, 7이므로 an=2n+1이다. 따라서 Sn=n(n+2)이고, n=3에서 3×5=15로 확인된다.
풀이를 끝까지 점검하는 기준
부분합 조건이 주어지면 먼저 Sn 자체의 공차를 찾지 말고 Sn−Sn−1을 계산한다. 이렇게 얻은 값이 실제 일반항이다. 마지막에는 구한 일반항을 다시 더해 주어진 Sn과 일치하는지 확인해야 한다. 이 절차가 유지되면 새로운 표에서도 수열의 유형을 안정적으로 판정할 수 있다.