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청학동 고2수학과외

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부분합 표에서 먼저 확인할 변화

n1234
Sn4101828

청학동과외 수업에서 위 표를 본 학생은 부분합의 차가 6, 8, 10으로 커지는 것을 보고 공차가 2인 수열이라고 판단했다. 그러나 표의 값은 항 자체가 아니라 첫째 항부터 n번째 항까지의 합이다.

한 번의 차로 일반항 복원하기

Sn=a1+a2+⋯+an이므로, n≥2에서

an=Sn−Sn−1

이다. 따라서

  • a1=S1=4
  • a2=10−4=6
  • a3=18−10=8
  • a4=28−18=10

항은 4, 6, 8, 10, …이므로 등차수열이고 공차는 2이다. 일반항은

an=4+2(n−1)=2n+2

이다.

합의 규칙과 항의 규칙을 분리해서 보기

위 항들을 더하면

Sn=∑k=1n(2k+2)=n(n+1)+2n=n(n+3)

이 된다. 실제로 n=4일 때 S4=4×7=28이므로 표와 일치한다.

새 자료에 적용한 검증

n123
Sn3815

차를 구하면 3, 5, 7이므로 an=2n+1이다. 따라서 Sn=n(n+2)이고, n=3에서 3×5=15로 확인된다.

풀이를 끝까지 점검하는 기준

부분합 조건이 주어지면 먼저 Sn 자체의 공차를 찾지 말고 Sn−Sn−1을 계산한다. 이렇게 얻은 값이 실제 일반항이다. 마지막에는 구한 일반항을 다시 더해 주어진 Sn과 일치하는지 확인해야 한다. 이 절차가 유지되면 새로운 표에서도 수열의 유형을 안정적으로 판정할 수 있다.

청학동 고2수학과외 학부모 후기

학교 숙제를 끝낸 뒤에도 아이가 맞힌 문제를 그냥 넘기지 않더라고요. 풀이를 하나 더 적어 보면서 어느 쪽이 더 간단한지 살펴보고, 아직 확인하지 않은 부분에는 따로 표시까지 해두었어요. 맞은 문제라면 답만 보고 지나가던 모습과는 꽤 달랐습니다. 청학동 수학과외 이야기를 나누던 때와는 별개로, 수학 노트를 새것으로 바꾼 날 방에 잠깐 들어갔다가 본 장면도 비슷했어요. 이미 답이 맞은 문제를 다시 풀고 있길래 왜 그러나 싶었는데, 기존 풀이보다 짧게 정리할 수 있는지 나란히 비교하고 있었습니다. 예전에는 다음에 볼 곳을 따로 남겨두지 않아서 노트를 펼치면 처음부터 훑어야 했거든요. 그런데 이번에는 맞힌 문제에서도 풀이를 다시 살핀 뒤, 확인하지 못한 부분을 눈에 띄게 표시해 두었어요.

★★★★★학부모 후기

주말에 단어장을 펼쳐 보다가 표시가 몰려 있는 부분이 보여서 물어보게 됐어요. 수학 문제를 다시 본 자리였는데, 답을 틀린 문제만 골라 둔 게 아니라 검산이 필요한 것들만 따로 표시해 두었더라고요. 어디를 다시 확인해야 하는지 한눈에 보이게 정리해 놓은 모습이었습니다. 학교 보충수업을 다녀온 날에도 비슷한 장면을 봤어요. 그냥 지나칠 법한 문제 앞에서 잠깐 멈추더니 답은 맞았지만 검산을 못 한 문제만 접어 두는 거예요. 예전에는 복습할 범위를 스스로 정하기보다 그날 배운 내용을 처음부터 다시 훑는 편이었거든요. 청학동 수학과외 이야기를 나누며 집에서 살펴본 것도 이런 작은 변화들이었는데, 이번에는 다시 볼 기준을 본인이 정해 둔 점이 눈에 띄었어요.

★★★★★학부모 후기

청학동에서 수학 과외를 시작한 뒤, 수업이 끝난 아이의 표정이 예전보다 한결 편안해졌습니다. 숙제를 거의 다 하고 마지막 한 문제에서 막혔을 때도 선생님은 틀렸다고 바로 말하기보다 생각이 달라진 지점을 함께 찾아 주셔서, 아이가 스스로 다시 이어 가는 모습이 기억에 남았습니다. 요즘은 공부를 시작하면 수업 중 궁금했던 내용을 먼저 이야기해 작은 변화가 반갑습니다.

★★★★★학부모 후기

시험 범위를 처음 받은 날에도 예전처럼 새 문제만 급하게 풀기보다, 선생님과 정한 계획에 따라 전에 틀린 문제부터 복습했습니다. 청학동에서 수학과외를 받으며 어려운 문제를 만나 집중이 흐트러지면 선생님이 설명을 억지로 반복하기보다 다른 문제나 활동으로 바꿔 주셨고, 다시 혼자 이어 갈 시간도 기다려 주셨습니다. 요즘은 수학 공부를 시작할 때 느끼던 부담이 조금 줄었습니다.

★★★★★학부모 후기

청학동에서 수학 과외를 시작할 때는 문제를 끝까지 읽지 않아 아는 내용도 몇 번씩 확인하던 아이였습니다. 어려운 단원을 앞두고 선생님은 문제 수를 줄이고, 틀린 이유를 함께 짚으며 무리하게 진도를 나가지 않았습니다. 요즘은 복습을 미뤄도 다음 날 다시 이어가는 모습이 보여 부모로서 좋게 느껴집니다.

★★★★★학부모 후기