광안동 중1수학과외

음수 대입과 괄호에서 시작된 한 줄의 차이

광안동과외 수업에서 학생이 가져온 문제는 “a=-3일 때, 2a-(a-4)의 값을 구하시오”였다. 광원아파트와 금보아파트가 있는 생활권, 광안중학교가 포함된 지역에서 자주 접하는 중1수학 문제처럼 보였지만, 계산보다 먼저 해야 할 일이 있었다. 문자의 자리에 음수를 넣을 때 괄호를 빠뜨리지 않는 것이었다.

학생은 식 옆에 곧바로 2×-3-(-3-4)라고 적었다. 이어서 앞부분을 -6으로 계산하고, 뒤의 괄호도 -3-4=-7로 처리해 -6-(-7)=1이라는 답을 냈다. 결과만 보면 계산 과정이 그럴듯했지만, 친구의 풀이와 나란히 놓자 첫 줄부터 차이가 났다.

친구: 2×(-3)-{(-3)-4}

학생은 친구가 괄호를 지나치게 많이 썼다고 생각했다. 그러나 풀이가 어긋난 최초의 판단은 계산 실수가 아니라 음수를 문자 자리에 넣으면서 괄호 없이 바로 곱셈 기호를 붙인 것이었다. 2×-3은 음수 -3이 하나의 수라는 표시가 약해지고, a-4에 a=-3을 대입할 때도 원래 식의 묶음이 흐려진다.

문자의 자리를 바꾸기 전에 식의 모양을 보존하기

학생은 같은 문제를 다시 쓰면서 a가 있던 자리를 모두 표시했다. 먼저 2a를 2×(-3)으로, 다음으로 a-4를 (-3)-4로 바꾸었다. 따라서 전체 식은 다음처럼 남았다.

2×(-3)-{(-3)-4}

이제 괄호 안을 한 항씩 확인했다. 2×(-3)=-6, (-3)-4=-7이므로 -6-(-7)=-6+7=1이었다. 여기서 중요한 교정은 여러 계산법을 새로 익히는 것이 아니라, 음수를 대입한 즉시 괄호로 감싼 뒤 원래 식의 뺄셈 구조를 유지하는 것이었다. 이미 맞았던 ‘괄호 안을 먼저 계산하는 과정’은 그대로 두었다.

수업 중에는 답을 거꾸로 확인하기도 했다. 최종값 1을 만들려면 앞의 -6과 뒤의 -7을 뺀 것이어야 한다. 실제 원래 식에 a=-3을 넣으면 2×(-3)-{(-3)-4}=1이므로 계산 결과가 조건과 맞았다. 친구의 답을 단순히 따라 쓴 것이 아니라, 어느 줄에서 두 풀이가 갈라졌는지 추적한 것이다.

식 대신 문장으로 바꾸어도 같은 원칙을 적용하다

다음 문제는 숫자와 식을 그대로 보여 주지 않고 문장으로 제시했다. “어떤 수 a에 -5를 대입하여, 3a에서 a와 2의 차를 뺀 값을 구하여라. 단, a=-2이다.” 학생은 문장을 식으로 옮기며 먼저 ‘3a’, 다음으로 ‘a와 2의 차’, 마지막으로 ‘앞의 값에서 뒤의 값을 뺀다’를 분리해 적었다.

그 결과 식은 3a-(a-2)가 되었고, a=-2를 넣은 뒤에는 3×(-2)-{(-2)-2}로 바뀌었다. 이번에는 처음부터 후보를 여러 개 만들지 않았다. 문장 속에서 주어진 값 a=-2와 계산 대상인 3a, a-2를 따로 표시한 뒤, 값이 필요한 자리에만 대입했다. 3×(-2)=-6, (-2)-2=-4이므로 전체 값은 -6-(-4)=-2였다.

질문의 방향도 바꾸어 보았다. “a=-2일 때 값을 구하라”가 아니라 “3a-(a-2)의 값이 -2가 되도록 대입한 수를 설명하라”는 식으로 물었다. 학생은 먼저 자신이 만든 식에 -2를 넣고 결과가 -2가 되는지 확인했다. 식의 모양이 달라진 것이 아니라 질문이 결과 확인에서 대입 과정 설명으로 바뀐 것이므로, 음수를 괄호에 넣는 원칙은 그대로 유지되었다.

보기 없이 다시 세운 풀이

다음 날 광안동중1수학과외 시간에는 앞의 풀이를 가린 채 새 식을 제시했다.

b=-4일 때, 5b-(b+3)의 값을 구하여라.

학생은 별도의 힌트 없이 “b가 -4이므로 두 자리에 각각 (-4)를 넣는다”고 말한 뒤, 5×(-4)-{(-4)+3}을 적었다. 5×(-4)=-20이고, (-4)+3=-1이므로 -20-(-1)=-19라고 계산했다. 이어 원래 식에 다시 넣어도 5×(-4)-{(-4)+3}=-19라고 설명했다.

마지막으로 학생은 예전 오답의 이유까지 스스로 정리했다. “음수를 괄호 없이 붙이면 곱셈과 뺄셈의 구조가 흐려지므로, 문자의 자리에 음수를 넣는 순간 괄호를 먼저 써야 한다. 그다음 괄호 안을 계산하고 전체 뺄셈을 처리한 뒤 원래 식에 다시 넣어 확인한다.” 숫자나 표현이 바뀌어도 같은 판단을 재현했으며, 이번에는 친구 풀이를 보지 않고도 대입과 괄호의 관계를 설명했다.