광안동 고3수학과외

식에서 그래프로 바뀐 순간, 극한의 기준을 다시 세우다

광안동의 도서관과 주거 생활권에서 수능 기출을 정리하던 학생에게 함수의 극한은 계산보다 표현을 읽는 순서가 더 큰 과제였다. 식으로 제시된 문제를 풀 때는 무난했지만, 같은 상황이 그래프나 표로 바뀌면 앞 문제의 풀이 순서를 그대로 옮겼다. 광안동고3수학과외 학습에서 확인한 것도 바로 이 지점이었다. 접근하는 값과 함수가 실제로 갖는 경계값을 구분하지 않은 채, 익숙한 식부터 만들고 보려 했던 것이다.

그래프를 식처럼 읽으려 했던 첫 판단

예를 들어 그래프에서 x가 2의 왼쪽과 오른쪽에서 모두 3에 가까워지고, 점 (2, 1)이 따로 표시되어 있다면 극한값은 3이고 함수값은 1이다. 그런데 학생은 그래프의 빈 점과 채워진 점을 확인하기 전에 이전 문항에서 사용한 대입 순서를 복사했다. 그 결과 “x=2일 때 y=1이므로 극한도 1”이라고 적었다.

오류는 계산 중간이 아니라 그래프 정보를 처음 연결한 순간에 생겼다. 접근값을 나타내는 양 끝의 흐름과 x=2에서 실제로 정해진 함수값을 한 줄로 합친 것이 최초의 잘못이었다. 정답을 맞혔는지만 보았다면 이 판단을 놓칠 수 있으므로, 풀이 첫 문장과 최종 답을 따로 살폈다. 첫 문장의 근거가 그래프의 어느 표시에서 나왔는지를 되짚자 오류 위치가 분명해졌다.

접근값과 경계값을 두 줄로 분리하다

학생에게 새로운 공식을 외우게 하기보다 그래프를 볼 때 기록 칸을 둘로 나누게 했다. 먼저 x가 어느 값으로 다가가는지, 왼쪽과 오른쪽에서 y가 각각 어디로 향하는지를 적는다. 그다음에 그 x에서 실제로 찍힌 점의 y좌표를 별도로 적는다. 따라서 위 사례는 다음처럼 정리된다.

• x→2⁻일 때 y→3
• x→2⁺일 때 y→3
• 두 방향의 값이 같으므로 lim x→2 f(x)=3
• 채워진 점에서 f(2)=1

이 순서를 식과 그래프에 공통으로 적용할 수 있는 기준으로 삼았다. 조각함수에서도 먼저 접근값을 계산하고, 마지막에 원래 조건에서 경계값을 확인하도록 했다. 예컨대 f(x)=x+1 (x<2), 5 (x=2), 2x-1 (x>2)라면 왼쪽 극한은 3, 오른쪽 극한은 3이므로 극한은 3이지만 함수값은 5이다. 학생은 중간식 한 줄을 가린 뒤에도 두 값을 섞지 않고 각각 적었다.

표와 조건을 바꾼 문항에서 남은 기준

다음에는 그래프 대신 표가 주어졌다. x의 값이 1에 가까워질 때 왼쪽 표의 f(x)가 4.1, 4.01, 4.001로 나타나고 오른쪽 표도 3.9, 3.99, 3.999로 제시된 문제였다. 두 표 모두 4에 접근하므로 극한은 4로 판단해야 하지만, 표에 x=1일 때 f(1)=7이라는 행이 추가되어 있었다. 학생은 이번에는 표의 가운데 행을 먼저 읽지 않고 양쪽 접근값을 따로 배열한 뒤, 마지막에 경계의 실제 함수값을 확인했다.

단순히 숫자만 바꾼 문제가 아니라 자료 제시 순서를 뒤섞은 문항도 사용했다. 이번에는 x=1에서의 함수값이 먼저 제시되고, 좌우의 변화가 뒤에 나왔다. 학생은 첫 식을 쓰기 전에 “극한은 x가 1에 가까워질 때의 양쪽 변화로 결정한다”고 근거를 말한 뒤 계산을 시작했다. 그래프의 오른쪽 일부만 남긴 문제에서는 우극한만 구할 수 있고, 좌극한 정보가 없으면 양쪽 극한의 존재를 단정할 수 없다고 선을 그었다.

마지막 확인은 힌트 없이 진행했다. 식·표·그래프가 섞인 새 문항에서 학생은 먼저 접근하는 x값을 동그라미 치고, 좌극한과 우극한을 각각 기록했다. 두 값이 다르면 함수값이 어떤 수로 주어져도 양쪽 극한은 존재하지 않는다고 판단했고, 두 값이 같을 때만 그 공통값을 극한으로 채택했다. 이어 채워진 점을 원래 조건과 대조해 함수값을 별도로 확인했다.

특히 마지막 문항에는 그래프의 한쪽 선분이 연장되지 않아 우극한만 읽을 수 있는 경계가 있었다. 학생은 보이지 않는 쪽을 임의로 대칭시키지 않고 “자료가 없는 방향의 극한은 결정할 수 없다”고 답의 범위를 제한했다. 광안동과외 수업에서 확인하고자 한 변화도 이 부분이었다. 표현이 식에서 표로, 표에서 그래프로 바뀌어도 접근값을 먼저 찾고 경계의 실제 값을 나중에 대조하는 판단이 유지되었다.