광안동 고2수학과외







정적분 답에 붙은 C, 정말 필요한가
덕문여자고등학교 학생의 풀이 기록에는 다음과 같은 답이 남아 있었다.
∫₁³ 2x dx = [x²+C]₁³ = (9+C)-(1+C)=8+C
계산 과정에서 같은 적분상수끼리 소거했지만, 마지막에 C를 다시 붙인 것이 최초 오류였다. 정적분의 값은 특정 구간에서 하나의 수로 결정되므로, 일반적인 부정적분의 상수 C가 남을 수 없다.
끝값을 비교하면 상수가 사라진다
원시함수의 두 표현
함수 f(x)=2x의 원시함수는 F(x)=x²+C로 쓸 수 있다. 정적분의 기본정리에 따라
∫₁³ 2x dx = F(3)-F(1)
이므로
(3²+C)-(1²+C)=9+C-1-C=8
상한과 하한에 같은 C가 들어가며 서로 없어지는 것이다.
다른 원시함수로 계산해도 같은 결과
이번에는 적분상수를 포함하지 않은 G(x)=x²를 사용하면
G(3)-G(1)=9-1=8
가 된다. F(x)=x²+C와 G(x)=x²는 서로 다른 식처럼 보이지만, 두 끝값의 차이는 동일하다.
새 문제에서 확인하기
∫₂⁵ (3x²-4x) dx를 계산해 보자. 원시함수는
x³-2x²+C
이므로 정적분은
[x³-2x²+C]₂⁵
=(125-50+C)-(8-8+C)=75
정답은 75이며 C를 붙이지 않는다. 정적분은 구간의 누적된 변화량을 나타내는 하나의 값이기 때문이다.
풀이 검증 기준
정적분 계산에서 원시함수에 C를 써도 되지만, 상한값에서 하한값을 뺀 뒤에는 반드시 소거해야 한다. 따라서 “정적분 답에 C가 남아 있는가?”를 확인하는 것만으로도 대표적인 오류를 빠르게 점검할 수 있다. 이러한 개념을 구간 계산과 연결해 익히는 과정은 광안동과외에서도 중요한 확인 단계가 된다.