광안동 고1수학과외
배열 후 선택하는 문제: 표현을 바꾸는 과정
광안동의 한 고1 학생은 네 명의 학생 중 두 명을 뽑아 앞뒤 순서까지 정하는 문제에서, 먼저 고르는 경우와 나중에 고르는 경우를 따로 세었다. 그러나 같은 두 사람이 순서만 바뀐 경우를 중복해서 세면서 계산값이 실제 가능한 배열 수보다 커졌다.
선택과 배열을 한 흐름으로 묶기
문제를 다시 읽을 때 ‘누구를 고르는가’와 ‘어떤 순서로 놓는가’를 서로 다른 역할로 나누어 표시했다. 두 사람을 선택한 뒤 자리를 정하는 구조라면 선택한 사람의 순서까지 이미 결과에 포함되는지 확인하도록 했다. 이 기준으로 같은 결과를 두 번 세는 부분을 지우자, 불필요한 조합 계산을 덧붙이지 않고 배열의 구조를 바로 세울 수 있었다.
순서를 구별하는 문제에서는 선택된 대상의 자리까지 결과의 일부인지 먼저 판단한다.
표현이 바뀐 선택 문제에 적용하기
이번에는 ‘5명 중 회장과 부회장을 정한다’는 문장 대신, 다섯 칸의 표에 두 사람의 이름을 서로 다른 칸에 적는 형태로 바꾸었다. 학생은 두 칸에 들어갈 사람을 차례로 정하는 방식으로 해석해, 회장과 부회장의 역할이 달라 순서를 구별해야 한다는 점을 놓치지 않았다.
답보다 경우의 의미를 확인하다
마지막에는 이름 대신 숫자 1, 2, 3을 사용해 두 자리를 채우는 간단한 사례를 직접 나열했다. 나열한 결과와 계산한 경우의 수가 일치하는지 비교하면서, 선택한 대상과 배열된 위치가 모두 결과에 반영되었는지 확인했다. 처음의 중복 계산은 사라졌고, 표현이 달라져도 경우를 세는 기준을 유지할 수 있었다.