광안동 중2수학과외

광안동 중2수학과외에서 이어진 부등식과 방정식의 판단 연습

광원아파트와 비치그린아파트가 있는 광안동 생활권에서 진행한 수업에서 학생은 부등식과 방정식을 계산법의 차이로만 기억하고 있었다. 한바다중학교가 포함된 생활권의 문제를 풀 때도 등호가 있으면 답 하나, 부등호가 있으면 숫자 여러 개라는 정도로만 구분했다. 그래서 식의 모양이 바뀌자 같은 관계를 연결하지 못했다.

표를 식으로 옮기는 순간 생긴 한 줄의 오류

수업에서는 다음 두 조건을 비교했다.

어떤 수에 4를 더한 값이 9이다.
어떤 수에 4를 더한 값이 9보다 작다.

학생은 첫 문장을 읽고 공책에 x+4=9를 쓴 뒤 x=5를 구했다. 이어 두 번째 문장을 보고는 표에 3, 4, 5를 적어 보며 “5보다 작은 수를 찾아야 한다”고 말했다. 그러나 식으로 나타내라는 요구에는 x+4>9를 적었다. 문장 속 ‘작다’를 읽었지만, 비교 대상의 순서를 식에 옮길 때 9와 x+4의 위치를 바꿔 놓은 것이었다.

학생은 그 상태에서 양변에 4를 빼 x>5라고 계산했다. 계산 결과만 보면 부호를 뒤집지 않은 것이 문제가 아니었다. 가장 먼저 어긋난 판단은 ‘x+4가 9보다 작다’를 ‘x+4가 9보다 크다’로 옮긴 것이었다. 이 한 줄 때문에 뒤의 해 범위도 반대로 향했다.

부등호의 방향을 문장 순서와 맞추기

이미 맞게 푼 방정식 과정은 그대로 두고, 부등식으로 바꾸는 첫 줄만 다시 확인했다. 학생은 문장의 주어를 왼쪽에 놓고 비교 대상을 오른쪽에 두기로 했다. 따라서 ‘x+4가 9보다 작다’는 x+4<9가 된다. 그다음 양변에서 4를 빼면 x<5이다.

교사는 표의 수를 무작정 늘리지 않고, 경계값 5만 식에 넣어 보게 했다. 5+4=9이므로 5는 ‘9보다 작다’에 포함되지 않는다. 4를 넣으면 4+4=8이 되어 조건을 만족한다. 학생은 수직선에 5에는 빈 동그라미를, 왼쪽 방향에는 화살표를 표시하며 해가 하나가 아니라 5보다 작은 모든 수임을 설명했다.

반대로 방정식 x+4=9에서는 등호 양쪽의 값이 같아야 하므로 x=5 하나가 나온다. 학생은 두 식을 나란히 적고, 등호는 같은 값을 정하는 표시이고 부등호는 범위를 정하는 표시라고 자신의 말로 구분했다.

식이 아닌 수직선과 조건표로 바꿔 본 적용

다음 문제는 숫자만 바꾼 형태가 아니었다. 수직선에 2가 빈 동그라미로 표시되어 있고 왼쪽으로 선이 이어져 있었다. 학생은 이를 보고 먼저 “2는 포함하지 않고 2보다 작은 수”라고 읽었다. 이어 x<2라고 적은 뒤, 이 부등식에 대응하는 문장을 만들었다.

어떤 수 x는 2보다 작다.

이번에는 식을 문장으로 바꾸는 방향이었지만, 학생은 수직선의 동그라미 모양과 화살표 방향을 각각 확인했다. 또 다른 카드에는 2에 색칠된 동그라미가 있고 오른쪽으로 선이 이어져 있었다. 학생은 이를 x≥2로 옮기고 “2 이상”이라고 읽었다. 등호가 붙어 경계값을 포함한다는 점도 2를 직접 대입해 확인했다.

표로 제시된 조건도 비교했다. 표에서 x가 1일 때 조건을 만족하고 x가 3일 때 만족하지 않는다면, 학생은 먼저 범위가 어느 쪽인지 말한 뒤 부등호를 정했다. 단순히 부등호 모양을 외우지 않고, 왼쪽 값과 오른쪽 값 중 어느 쪽이 큰지를 문장으로 되짚었다.

힌트 없이 다시 세운 첫 판단

수업 끝에 새로운 표현의 문제가 제시됐다.

수직선에서 6은 색칠되지 않은 점으로 표시되고, 6의 왼쪽 부분이 나타나 있다. 이 관계를 식으로 쓰고, 6이 해에 포함되는지 설명하시오.

학생은 도움을 기다리지 않고 “점이 비어 있으므로 경계값은 제외되고, 왼쪽이므로 6보다 작은 수”라고 먼저 말했다. 이어 x<6을 적었다. 검산할 때는 x=5와 x=6을 각각 대입했다. 5는 조건을 만족하지만 6은 경계값이라 포함되지 않으므로, 수직선 표시와 식이 서로 맞는다고 설명했다.

방정식과 비교하는 질문에도 학생은 “x=6이면 등호 조건은 한 값으로 결정되지만, x<6은 6을 제외한 여러 값의 범위”라고 답했다. 광안동과외 수업에서 시작된 혼동은 표현이 식이든 표든 수직선이든 먼저 관계의 방향과 경계 포함 여부를 확인하는 판단으로 정리되었다. 이 과정을 바탕으로 광안동중2수학과외에서도 새로운 부등식 문제를 만났을 때 첫 줄부터 근거를 말하고, 경계값을 원래 조건에 대입해 스스로 검산할 수 있도록 확인했다.