광안동 고등수학과외

광안동 고등수학과외에서 조합과 순열을 지도할 때 학생들이 자주 멈추는 지점은 공식 암기가 아니라 같은 배치를 몇 번 세고 있는지 알아차리는 순간이다. 덕문여자고등학교 학생과 12명 중 3명을 원탁에 앉히는 문제를 풀며, 회전해서 같은 배치를 어떻게 처리하는지 직접 확인했다. 광원아파트와 금보아파트 인근 생활권에서도 비슷한 유형을 복습할 때는 답보다 배열을 세는 기준을 먼저 말하게 한다.

“12명 중 3명”에서 생긴 첫 오류

학생은 먼저 12명 가운데 3명을 고르므로 12C3이라고 적었다. 이어 세 사람을 일렬로 배열하는 경우가 3!이니 곱하면 된다고 판단했다. 그러나 원탁에서는 첫 번째 자리를 임의로 정할 수 없다는 점을 놓쳤다. A-B-C와 B-C-A, C-A-B는 자리를 돌리면 같은 배치인데, 3!을 그대로 곱하면서 이 세 경우를 모두 다른 것으로 센 것이다.

처음 잘못된 순간은 ‘세 사람을 배열한다’고 쓴 뒤, 회전한 배열을 별개의 경우로 표시한 때였다. 학생은 회전 중복을 나중에 나누면 된다고 생각했지만, 왜 3으로 나누는지 설명하지 못했다. 단순히 답을 3으로 수정하는 것만으로는 원순열의 근거가 남지 않는다.

보조선을 그어 기준 자리를 만든다

종이에 원을 그리고 한 사람의 자리에 보조선을 표시하게 했다. 이 보조선은 실제 좌석을 추가하는 선이 아니라, 회전된 그림들을 비교하기 위한 기준점이다. 세 사람이 모두 정해진 뒤에는 그중 한 사람을 기준 위치에 놓고 나머지 두 사람만 배열한다. 따라서 한 집합의 배열은 2가지다.

먼저 사람을 고르는 방법은

12C3

이고, 선택된 세 사람을 원탁에 배치하는 방법은 (3-1)!=2이다. 그러므로 전체 경우의 수는 12C3×2=220×2=440이다.

같은 내용을 일렬 배열에서 출발해 확인할 수도 있다. 12명 중 3명을 순서 있게 뽑으면 12×11×10이다. 그런데 세 사람을 원형으로 돌린 세 배열이 하나의 배치이므로 3으로 나눈다.

12×11×10÷3=440

학생은 두 식이 모두 440을 내놓는 것을 보고, ‘3으로 나눈다’는 조작이 아니라 선택된 사람 세 명이 기준점이 될 수 있는 횟수라는 점을 설명했다. 보조선의 목적을 한 줄로 쓰게 하자 “회전한 그림을 같은 것으로 판정하기 위한 비교 기준”이라고 정리했다.

조건을 바꾼 뒤 혼자 세기

다음에는 10명 중 4명을 원탁에 앉히는 문제를 제시했다. 이번에는 앞의 식을 보지 않고, 먼저 전체를 순서 있게 세었다.

10×9×8×7

네 명이 원을 따라 한 칸씩 회전한 배열은 같은 배치이므로 4로 나누어

10×9×8×7÷4=1260

이라고 계산했다. 학생은 “4명을 고른 뒤 한 명을 기준 위치에 두고 나머지 세 명을 배열하면 10C4×3!=210×6=1260”이라고 다른 표현도 만들었다. 인원이 3명에서 4명으로 바뀌어도 나누는 수가 선택된 사람 수와 같다는 구조를 스스로 적용한 장면이다.

답을 다시 원식에 넣어 검증하기

마지막에는 440이라는 답을 처음의 일렬 배열 식에 대입했다. 원순열 결과에 회전 중복 3을 다시 곱하면 440×3=1320이 되고, 이는 12×11×10과 일치한다. 반대로 440에 3을 곱하지 않고 12C3과 비교하면 220과 달라진다. 학생은 선택만 센 값과 배치까지 센 값이 서로 다르다는 점도 구분했다.

원형 배열에서는 기준 자리를 임의로 하나 정한 뒤, 그 기준을 바꿔도 같은 배치가 되는지 확인한다.

자주 묻는 질문

원탁에 3명만 앉으면 왜 3으로 나누나요?
한 배열을 회전한 모습이 3개씩 반복되어 세어지기 때문입니다.
항상 한 사람을 고정하면 되나요?
특정 인물을 반드시 포함하는 조건이라면 고정할 수 있지만, 전체 12명 중 일부를 고르는 문제에서는 선택과 배열을 함께 계산해야 합니다.
12C3만 계산하면 안 되나요?
그 값은 세 사람의 모임만 고른 것이며, 원탁에서 두 가지 서로 다른 배치를 구분하지 못합니다.
일렬 배열 뒤에 나누는 방법도 같은가요?
회전 중복이 선택된 사람 수만큼 일정하게 생길 때는 같은 결과를 얻습니다.
좌석 번호가 있는 원탁이면 어떻게 되나요?
좌석이 구별되므로 회전한 배치를 같은 것으로 보지 않아 원순열 방식이 달라집니다.

광안동 고등수학과외 학부모 후기

모의고사 문제를 펼치자마자 시작점과 끝점 좌표부터 적는 걸 보고 조금 의외였어요. 예예전에는 헷갈린 부분을 따로 모아 보기보다 자료 전체를 처음부터 다시 반복해서 보는 편이었거든요. 그런데 이번에는 두 점의 좌표를 나란히 적고, 순서에 맞춰 성분 차를 계산하고 있더라고요. 계산한 흔적도 문제 옆에 그대로 남아 있더라고요. 잠들기 전에 방에 들어갔다가 벡터 문제를 다시 확인하는 모습도 봤습니다. 책상 불을 끄러 잠깐 들른 건데, 이미 풀었던 문제에서 시작점과 끝점 좌표를 또 적어 보며 성분을 살피고 있었어요. 광안동 수학과외 이야기를 나누면서도 이런 장면은 따로 말하지 않았는데, 집에서 보니 풀이를 그냥 넘기지 않는 게 느껴졌습니다. 이후 이어서 볼 부분은 표시해 두고, 좌표와 성분 계산이 적힌 줄을 한 번 더 살펴보더라고요.

★★★★☆학부모 후기

모의고사 성적표를 식탁에 올려둔 날, 아이가 해설지와 자기 풀이를 펼쳐놓고 있더라고요. 답을 맞혔는지부터 보는 게 아니라 두 장을 번갈아 보면서 풀이가 처음 달라지는 한 줄만 짚어 비교했어요. 광안동 수학과외 이야기를 나누던 중에도 그 장면이 떠올랐습니다. 예전에는 문제를 다 풀고 나면 지나간 부분을 다시 펼치는 일이 거의 없었거든요. 그런데 시험 전 마지막 복습 때도 해설과 자기 풀이를 나란히 놓고 처음 어긋난 줄을 먼저 찾더라고요. 확인할 곳이 여러 군데 섞이지 않게 따로 남겨둔 표시까지 보였습니다. 예전에는 틀린 문제를 한꺼번에 넘기곤 했는데, 이날은 풀이 전체보다 달라진 한 줄 앞에서 손을 멈췄어요. calc.

★★★★★학부모 후기

새 학기 첫 수학시험을 앞둔 주였는데, 아이 시험지 한쪽에 번호가 몇 개만 따로 적혀 있더라고요. 처음엔 틀린 문제를 표시해 둔 줄 알았는데, 마지막에 다시 계산해 볼 문제만 모아 둔 거였어요. 예예전에는 공부하면서 찜찜한 부분이 있어도 따로 남겨 두는 일이 거의 없었거든요. 광안동 수학과외 이야기를 나누던 때에도 이런 부분은 눈여겨보지 못했는데, 이번에는 답을 바로 확인하기보다 검산할 번호부터 정리해 둔 모습이 낯설었어요. 수학 수업이 없는 평일 저녁에도 문제를 풀고 나서 같은 식으로 마지막에 확인할 번호를 따로 모았고, 계산해 본 흔적을 지우지 않은 채 책을 덮어 두었어요. 시험지에 남은 건 문제 전체가 아니라, 다시 살펴볼 번호 몇 개였습니다.

★★★★★학부모 후기

시험 일주일 전인데도 예전처럼 수업을 부담스러워하지 않고, 광안동 집에서 주말 오전 숙제를 먼저 꺼내는 모습이 눈에 띄었습니다. 실수할까 봐 질문을 피하던 아이에게 선생님은 반응을 살피며 같은 내용을 다른 말로 설명하고, 스스로 이어서 생각할 시간도 기다려 주셨습니다. 숙제를 시작하기까지 걸리는 시간이 조금씩 줄어든 것만으로도 반갑게 느껴졌습니다.

★★★★☆학부모 후기

광안동에서 수학 과외를 시작할 때만 해도 공부 계획을 자주 미루고 복습보다 다음 진도를 서두르는 편이었습니다. 시험 범위를 처음 받은 날에도 선생님은 제 생각을 먼저 물으며 편하게 대화를 이어갔고, 수업 중 집중이 흐트러지면 같은 설명을 반복하기보다 문제나 활동을 바꿔 주셨습니다. 평소보다 어려운 문제를 만나도 예전처럼 겁부터 나지 않고, 수학을 시작할 때의 부담도 조금 줄었습니다.

★★★★★학부모 후기

광안동에 사는 아이가 수업 후 답지를 덮고 혼자 다시 풀어보는 모습이 기억에 남았습니다. 숙제를 시작하기까지 오래 걸리고 풀이가 길어지면 포기하곤 했는데, 선생님께서 컨디션에 따라 문제 수를 줄이고 핵심만 짚어 주셨습니다. 이제는 이해가 안 되는 부분을 다시 설명해 달라는 말도 한결 편하게 합니다.

★★★★★학부모 후기