광안동 중3수학과외

광안동 중3수학과외에서 살펴본 ‘두 제곱의 차’ 인수분해

광안동과외에서는 정답만 맞히는 것보다 식의 모양이 달라졌을 때도 같은 관계를 찾아내는 과정을 중요하게 다룹니다. 이번 광안동중3수학과외의 중심은 차의 제곱 형태를 이용한 인수분해입니다.

자습 노트에 남은 첫 식

도서관 자습 시간에 학생은 다음 문제를 풀었습니다.

식 ① 25x² - 49를 인수분해하여라.

학생은 먼저 25x²를 5x의 제곱으로, 49를 7의 제곱으로 바꾸어 나란히 적었습니다.

25x² - 49 = (5x)² - 7²

그다음 노트에 “두 제곱의 차이므로 (5x-7)(5x+7)”이라고 썼습니다. 여기까지는 차의 제곱 형태를 발견하고, 뺄셈을 하는 두 항과 덧셈을 하는 두 항으로 바꾸는 올바른 흐름이었습니다.

그런데 다음 식에서 풀이가 달라졌습니다.

식 ② 81 - 16y²

학생은 81=9², 16y²=(4y)²까지 표시한 뒤, 식의 순서가 바뀐 것을 보고 “앞의 인수는 항상 빼기”라는 식으로 판단했습니다. 그래서

81 - 16y² = (4y-9)(4y+9)

라고 적었습니다. 두 괄호를 곱하면 16y²-81이 되므로 원래 식과 부호가 반대입니다.

결과보다 먼저 어긋난 선택

이 풀이에서 가장 먼저 잘못된 지점은 계산 과정이 아니라 두 제곱의 차를 어느 순서로 확인할지 정하지 않은 것입니다. 학생은 9²- (4y)²를 보고도 괄호 안의 첫 항을 무조건 4y로 놓았습니다. 하지만 인수분해의 기준은 괄호에 들어갈 항의 순서가 아니라 원래 식의 부호와 일치하는 전개입니다.

차의 제곱 공식은 다음처럼 읽어야 합니다.

a²-b²=(a-b)(a+b)

따라서 식 ②에서는 a=9, b=4y로 보아야 합니다.

81-16y²=9²-(4y)²=(9-4y)(9+4y)

학생이 이미 9²과 (4y)²를 찾은 과정은 그대로 두고, 괄호에 들어갈 두 항의 기준만 바로잡았습니다. 두 괄호를 곱하면 81+36y-36y-16y²=81-16y²가 되어 가운데 항이 사라지고 원래 식으로 돌아옵니다.

표현이 바뀌어도 같은 관계 찾기

며칠 뒤에는 식을 바로 제시하지 않고 문장으로 바꾼 문제를 풀었습니다.

가로가 (3m+2), 세로가 (3m-2)인 두 직사각형의 넓이 차를 인수분해하여라.

학생은 넓이를 각각 계산해 복잡하게 정리하지 않고, 두 넓이의 차를 다음처럼 적었습니다.

(3m+2)²-(3m-2)²

이 식은 한 항이 단순한 제곱처럼 보이지 않더라도, 두 제곱의 차로 바로 읽을 수 있습니다. a=3m+2, b=3m-2로 두면

[(3m+2)-(3m-2)] [(3m+2)+(3m-2)]

가 됩니다. 각 괄호를 정리하면 4×6m=24m입니다. 이 문제는 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 식 대신 두 표현의 넓이 차로 제시되었다는 점이 다릅니다. 그래도 핵심은 두 표현을 각각 제곱한 뒤, 뺄셈 구조를 유지하여 (a-b)(a+b)로 전환하는 것입니다.

힌트 없이 확인한 마지막 풀이

마지막에는 다음 문제를 별도의 도움 없이 제시했습니다.

다음 식을 인수분해하고, 전개하여 확인하여라.
121p²-(2q-5)²

학생은 먼저 121p²=(11p)²라고 표시했습니다. 이어서 a=11p, b=2q-5로 정하고, 식의 첫 제곱에서 둘째 제곱을 빼는 모양임을 확인했습니다.

121p²-(2q-5)² = {11p-(2q-5)}{11p+(2q-5)}

학생은 괄호를 풀어

(11p-2q+5)(11p+2q-5)

라고 정리했습니다. 검산할 때는 두 괄호를 각각 전개하지 않고, (A-B)(런맵 B)=A²-B²의 구조를 다시 적용했습니다. A=11p, B=2q-5이므로 결과가 (11p)²-(2q-5)², 즉 처음 식과 같다고 설명했습니다.

이번 풀이에서 확인된 변화는 표현이 식, 도형의 넓이 차, 괄호가 포함된 제곱으로 바뀌어도 먼저 두 제곱의 차인지, 어느 항을 앞에 둘지, 전개했을 때 원래 부호가 유지되는지를 스스로 점검했다는 점입니다.