죽림동 중등수학과외

죽림동중등수학과외, 닮음비 방향을 바꿔도 큰 삼각형의 변 42를 확인하는 방법

닮은 두 삼각형에서 대응변의 길이가 작은 삼각형 3, 큰 삼각형 6으로 주어지고, 작은 삼각형의 다른 대응변이 21일 때 큰 삼각형의 길이를 구하는 문제를 살펴보겠습니다. 작은 것에서 큰 것으로 갈 때 3이 6이 되므로 확대 비율은 2입니다. 따라서 21도 2배가 되어 답은 42입니다. 기본 문제의 계산을 설명할 수 있어도, 비교 문제에서 삼각형을 쓰는 순서가 바뀌면 비례식의 방향을 스스로 정하기 어려울 수 있습니다. 이때 중요한 것은 식의 앞뒤 모양이 아니라 같은 삼각형의 변끼리 분자와 분모를 맞추는 것입니다.

대응 꼭짓점 표에서 같은 줄의 변을 먼저 맞춥니다

기본 문제에서는 작은 삼각형의 변과 큰 삼각형의 대응변을 한 줄씩 적습니다. 길이 3과 6은 서로 대응하고, 길이 21과 구하려는 큰 삼각형의 변 x도 서로 대응합니다. 작은 것 대 큰 것의 순서로 쓰면 3/6=21/x입니다. 3/6은 1/2이므로 21/x=1/2, 즉 x=42가 됩니다. 또는 작은 삼각형에서 큰 삼각형으로 향하는 화살표 위에 ‘×2’를 표시하여 21×2=42로 계산할 수도 있습니다. 여기서 21에 대응하는 길이를 찾는 문제이므로, 21과 6을 같은 삼각형의 길이처럼 나란히 놓지 않도록 표의 같은 줄을 확인합니다. 길이의 단위가 문제에 제시되었다면 42에도 같은 단위를 붙이며, 42는 큰 삼각형의 대응변 길이라는 뜻입니다.

비례식의 순서를 뒤집으면 닮음비도 2:1로 바뀝니다

비교 문제는 작은 삼각형과 큰 삼각형의 순서를 뒤집어 비례식을 세우는 조건입니다. 관계 자체는 그대로지만, 이제 큰 것 대 작은 것의 기준으로 적습니다. 따라서 6/3=x/21이고, 큰 삼각형 대 작은 삼각형의 닮음비는 2:1입니다. 6/3=2이므로 x/21=2, x=42가 됩니다. 앞의 식 3/6=21/x와 비교하면 분자와 분모가 모두 바뀌었을 뿐입니다. 한쪽만 뒤집어 6/3=21/x처럼 쓰면 큰 것의 비율 2와 작은 것의 길이 21이 섞여 대응 관계가 무너집니다. 죽림동중등수학과외에서는 ‘분자의 길이는 모두 같은 삼각형에서 골랐나요?’를 확인하며, 작은 것 대 큰 것과 큰 것 대 작은 것을 나란히 적어 기준 방향을 눈에 보이게 정리할 수 있습니다.

답이 같다는 말은 대응 관계를 유지했는지로 확인합니다

비교 과제에서 큰 삼각형을 먼저 썼더라도 구한 길이가 42로 같은 이유는 실제 도형의 대응 관계와 확대 비율이 달라지지 않았기 때문입니다. 검산은 x=42를 각각의 비례식에 대입해 확인합니다. 기본식에서는 3/6=1/2, 21/42=1/2로 양변이 같고, 순서를 뒤집은 식에서는 6/3=2, 42/21=2로 양변이 같습니다. 다음에는 답만 말하는 대신 기본 문제와 비교 문제에서 무엇이 유지되고 무엇이 바뀌었는지 표시하게 합니다. 큰 삼각형을 먼저 쓸 때도 6/3과 x/21을 스스로 선택하고, 왜 2:1인지 근거를 덧붙일 수 있는지 확인합니다. 그 지점에서 멈춘다면 닮음의 정의를 처음부터 반복하기보다, 대응변 표에서 분자 두 개와 분모 두 개가 각각 어느 삼각형에 속하는지 다시 짚어 보는 것이 적절합니다.