죽림동 중1수학과외
죽림동 중1수학과외에서 살펴본 원과 부채꼴 풀이
용두암현대1차아파트와 내덕시영아파트가 있는 생활권, 그리고 산남중학교·원평중학교 등이 포함된 죽림동 생활권에서 중1 수학 문제를 지도하며 한 학생의 풀이를 역으로 따라가 보았다. 단원은 원과 부채꼴의 여러 요소를 연결해 주어진 조건에 맞는 값을 구하는 내용이었다.
답보다 먼저 확인한 한 줄
문제에는 중심이 O인 원에서 반지름이 6cm이고, 중심각이 120°인 부채꼴의 호의 길이를 구하라는 조건이 제시되어 있었다. 학생은 그림 옆에 다음과 같이 적었다.
원의 둘레는 6×2×3.14=37.68, 따라서 호의 길이는 37.68×120=4521.6cm
계산 결과가 지나치게 큰 것을 보고 단순 계산 실수부터 고치지 않았다. 식을 거꾸로 읽어 보니, 학생은 중심각 120을 원 전체의 몇 부분인지로 바꾸지 않은 채 원의 둘레에 그대로 곱하고 있었다. 오류가 시작된 지점은 곱셈이 아니라 ‘120°가 원 전체에서 차지하는 비율’을 판단하지 않은 순간이었다.
종이에 원을 하나 그리고 중심에서 양쪽 끝점으로 선을 그어 부채꼴을 표시했다. 원 전체의 중심각은 360°이므로, 해당 부채꼴은 전체의 120÷360, 즉 3분의 1이라고 적었다. 그 뒤 이미 맞게 구한 원의 둘레 37.68cm는 그대로 두고, 호의 길이를 다음처럼 다시 연결했다.
37.68×1/3=12.56cm
학생은 “부채꼴의 호는 원 전체의 일부이므로, 중심각이 원 전체에서 차지하는 비율만큼 원주를 사용해야 한다”고 설명했다. 구한 12.56cm를 원래 조건과 대조하자 120°는 360°의 3분의 1이고, 호의 길이도 원주 37.68cm보다 작다는 점이 함께 확인되었다.
그림을 돌리고 질문을 바꾼 적용
다음 문제에서는 부채꼴 그림을 시계 방향으로 돌려 놓고, 호의 길이가 15.7cm일 때 중심각을 구하도록 조건의 순서를 바꾸었다. 학생은 그림의 방향 때문에 새로운 도형이라고 생각하지 않도록 중심 O, 두 반지름, 호를 다시 표시했다. 반지름 5cm이므로 원주는 31.4cm이고, 주어진 호는 원주의 절반이라고 먼저 판단했다.
표를 만들어 대응 관계도 적었다.
- 360°에 해당하는 호: 31.4cm
- 구하려는 중심각에 해당하는 호: 15.7cm
15.7cm가 31.4cm의 2분의 1이므로 중심각도 360°의 2분의 1인 180°라고 구했다. 그림이 회전했어도 중심각은 두 반지름 사이의 각이고, 호의 길이는 원 전체에서 같은 비율로 대응한다는 근거를 한 줄로 남겼다. 질문이 ‘호의 길이’에서 ‘중심각’으로 바뀌었지만, 먼저 원 전체와 부채꼴의 대응을 세운 뒤 반대 방향으로 읽은 것이다.
힌트 없이 다시 세운 검증
수업 마무리 때는 새로운 조건을 제시했다. 반지름 8cm인 원에서 중심각 90°인 부채꼴의 호의 길이를 구하는 문제였다. 학생은 도움을 기다리지 않고 원 전체의 중심각 360°와 부채꼴의 90°를 먼저 적었다. 90÷360=1/4이므로 원주의 4분의 1을 구해야 한다고 판단했다.
원주는 2×3.14×8=50.24cm, 따라서 호의 길이는 50.24×1/4=12.56cm라고 풀이했다. 이어 “90°는 360°의 4분의 1이어서 호도 원주의 4분의 1이다. 12.56cm는 50.24cm보다 작으므로 부채꼴의 호라는 조건에도 맞는다”고 스스로 설명했다.
죽림동과외 수업에서 확인한 변화는 계산 속도가 아니라 판단의 순서였다. 죽림동중1수학과외에서는 그림의 방향이나 질문의 위치가 달라져도 중심각과 원 전체의 각을 먼저 비교하고, 그 비율에 맞춰 원주와 호를 연결하는 과정을 독립적으로 재현하는지에 초점을 맞췄다.