죽림동 중2수학과외

완성된 풀이의 끝에서 시작한 확률 점검

학생은 답만 다시 계산하지 않고, 마지막 줄에서 처음 어긋난 줄까지 풀이를 역추적했다.

“계산 결과가 이상한 이유를 찾으려면, 답보다 먼저 경우를 어떻게 세었는지 확인해야 해요.”

마지막 비율에서 발견한 첫 분기

문제는 주머니에 빨간 공 2개와 파란 공 1개가 있을 때, 공을 차례로 2개 꺼내 모두 다른 색이 될 확률을 구하는 내용이었다. 학생은 전체 경우를 표로 만들면서 첫 번째 공과 두 번째 공의 색을 적었다. 빨강-파랑, 파랑-빨강을 각각 표시한 뒤 원하는 경우가 2개라고 세었다.

그런데 전체 경우를 적는 부분에서 빨강-빨강, 빨강-파랑, 파랑-빨강만 남기고 파랑-빨강을 한 번 더 세지 않았다. 학생은 공의 색 조합만 보고 빨강-파랑과 파랑-빨강을 같은 경우로 처리했다. 그 결과 전체 경우를 3개, 원하는 경우를 2개로 두어 확률을 2/3이라고 적었다.

오답노트를 뒤에서부터 읽자 계산 기호나 약분 과정이 아니라, 경우를 나누던 바로 그 줄에서 판단이 바뀐 것이 보였다. 공을 꺼내는 순서가 있는 문제인데 순서를 무시한 것이 최초 오류였다.

처음 어긋난 줄만 고치기

교정할 때 학생은 풀이 전체를 지우지 않았다. 잘못된 줄에 ‘첫째 공-둘째 공’이라고 덧붙이고, 각 결과를 순서가 드러나도록 다시 적었다.

• 빨강-빨강
• 빨강-파랑
• 파랑-빨강

따라서 전체 경우는 3개이고 원하는 경우는 2개라는 결론 자체는 이 문제의 공 개수가 색별로 묶여 있을 때 바로 사용할 수 없었다. 실제 공 하나하나를 구분하면 첫째 공과 둘째 공을 뽑는 전체 경우는 3×2=6개이다. 서로 다른 색이 되는 경우는 빨간 공을 먼저 뽑고 파란 공을 뽑는 2개, 파란 공을 먼저 뽑고 빨간 공을 뽑는 2개로 모두 4개다. 학생은 분모에 전체 경우 6, 분자에 원하는 경우 4를 놓아 확률을 4/6=2/3으로 정리했다.

이번에는 우연히 같은 답이 나왔지만, 학생은 결과보다 경우를 세는 기준을 확인했다. “빨강-파랑과 파랑-빨강은 색만 보면 같지만, 꺼낸 순서가 다르므로 표에서는 따로 세야 한다”고 직접 설명했다.

표를 가린 변형 문제

이번에는 중간 표를 가리고 문제와 학생의 마지막 비율만 제시했다.

학생은 먼저 “두 장을 차례로 뽑으므로 순서를 구별한다”고 적었다. 이어 전체 경우를 첫 번째 카드 4가지와 두 번째 카드 3가지의 곱인 12가지로 세웠다. 첫 카드가 둘째 카드보다 큰 경우는 (2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)으로 6가지라고 직접 복원했다.

이번 변형은 단순히 숫자만 바꾼 문제가 아니었다. 앞 문제에서는 같은 색인지 확인했지만, 이번에는 두 수의 대소를 비교해야 했다. 학생은 원하는 조건을 문장으로 바꾼 뒤 순서가 다른 쌍을 따로 적어, 조건에 맞는 경우만 분자에 넣었다. 확률은 6/12=1/2였다.

힌트 없이 확인한 최종 판단

수업의 끝에는 다음 문제를 도움 없이 풀었다. 숫자 1, 2, 3이 적힌 카드 중 두 장을 차례로 뽑을 때, 두 카드의 합이 4가 될 확률을 구하는 문제였다.

학생은 첫 줄에 “차례로 뽑으므로 (1,3)과 (3,1)을 다르게 센다”고 썼다. 전체 경우는 3×2=6가지, 원하는 경우는 (1,3), (3,1) 두 가지라고 정리했다. 이어 원하는 경우가 전체 경우 안에 포함되는지 확인하기 위해 두 순서의 카드를 직접 표에 표시하고, 다른 네 경우에는 합이 4가 아님을 검산했다.

“분모는 가능한 전체 순서, 분자는 그중 조건을 만족하는 순서예요. 순서를 바꾸면 다른 경우인지 먼저 판단해야 해요.”

학생은 확률을 2/6=1/3으로 적은 뒤, 분자가 분모보다 크지 않은지와 원하는 두 경우가 빠짐없이 포함되었는지를 스스로 확인했다. 죽림동중2수학과외 수업에서 확인한 변화는 정답 암기가 아니라, 새로운 문제에서도 첫 판단과 검산 근거를 말로 재현한 장면에 있었다.