산남동 중등수학과외

산남동중등수학과외, y=−(x−19)²+1에서 꼭짓점과 열림 방향 확인하기

이차함수 그래프에서 식의 모양이 조금만 달라져도 학생이 처음부터 다른 문제라고 느끼기 쉽습니다. 이번 학습에서는 기본식 y=(x−19)²+1의 꼭짓점과 대칭축을 찾은 뒤, 비교식 y=−(x−19)²+1에서 무엇이 유지되고 무엇이 바뀌는지 살펴봅니다. 두 식 모두 괄호 안의 제곱 부분이 0이 되는 x값이 그래프의 중심을 결정하며, 식 앞의 부호는 포물선이 위 또는 아래 어느 쪽으로 열리는지를 결정합니다. 기본 문제는 설명할 수 있어도 비교 문제에서 이 차이를 혼자 적용하기 어려운 상황을 중심으로 확인합니다.

괄호 안이 0이 되는 x=19가 꼭짓점의 가로좌표가 되는 이유

기본식 y=(x−19)²+1에서 (x−19)²은 제곱이므로 항상 0 이상입니다. 가장 작은 값은 x−19=0, 즉 x=19일 때의 0입니다. 이때 y=0+1=1이므로 꼭짓점은 (19, 1)입니다. 제곱 부분의 값이 가장 작아지는 x=19를 기준으로 좌우의 높이가 같아지므로 대칭축은 x=19입니다. 예를 들어 x=18과 x=20을 대입하면 각각 y=2가 되어, 두 x값이 19에서 같은 거리만큼 떨어졌을 때 같은 y값을 갖는다는 것도 확인할 수 있습니다. 산남동중등수학과외에서는 ‘꼭짓점을 외워 찾기’보다, 괄호 안을 0으로 만드는 이유를 식과 대입으로 연결해 보게 합니다.

앞의 음수는 꼭짓점을 옮기지 않고 그래프의 방향을 바꿉니다

비교식 y=−(x−19)²+1도 먼저 (x−19)=0을 봅니다. 따라서 x=19이고, y=−0²+1=1이므로 꼭짓점은 기본식과 같은 (19, 1)입니다. 대칭축도 변하지 않아 x=19입니다. 달라진 부분은 식 전체 앞의 음수입니다. 기본식에서는 (x−19)²이 커질수록 y가 1보다 커져 위로 열리지만, 비교식에서는 제곱값에 음수를 곱하므로 y가 1보다 작아져 아래로 엽니다. 실제로 x=18 또는 x=20을 대입하면 y=−1+1=0입니다. 꼭짓점에서 한 칸 옆으로 갈 때 기본식의 y값은 2, 비교식의 y값은 0이 되는 차이가 열리는 방향을 분명하게 보여 줍니다.

두 식을 나란히 표시하며 다음 변형에 적용하기

풀이를 고칠 때는 두 식에서 공통인 (x−19)²+1을 먼저 밑줄로 표시하고, 비교식에만 있는 맨 앞의 ‘−’를 따로 표시합니다. 그러면 괄호 안이 0이 되는 x=19, 꼭짓점의 y값 1, 대칭축 x=19는 유지되는 정보이고, 포물선의 열림 방향만 바뀌는 정보임을 구분할 수 있습니다. “식 앞에 음수가 붙어도 괄호가 0인 x는 같은가요?”라는 질문에는 x−19=0이라는 식 자체가 바뀌지 않았으므로 같다고 근거를 말할 수 있어야 합니다. 다음 확인에서는 도움 없이 비교식을 보고 먼저 괄호를 0으로 만든 뒤 꼭짓점과 대칭축을 적고, 마지막에 음수 때문에 아래로 열린다고 판단하는 순서가 가능한지 봅니다. 답만 (19, 1)이라고 쓰는 데서 멈추지 않고, 어떤 부분이 유지되고 어떤 부호가 방향을 바꾸는지 표시와 대입으로 설명할 수 있을 때 다음 변형 문제로 범위를 넓힐 수 있습니다.