산남동 중2수학과외

조건이 붙은 경우의 수, 곱셈을 시작하기 전 확인할 것

산남동과외 수업에서 학생은 산남중학교가 포함된 생활권의 문제지에 나온 경우의 수 문항을 풀었다. 용두암현대1차아파트와 내덕시영아파트가 있는 생활권에서 세 자리 잠금번호를 만든다는 상황이었다. 첫째 자리는 1, 2, 3 중 하나, 둘째 자리는 0, 1, 2, 3 중 하나, 셋째 자리는 5 또는 6 중 하나로 정해져 있었다. 단, 같은 숫자를 두 번 사용할 수 없다는 조건이 뒤에 붙어 있었다.

학생은 문제에서 숫자 선택의 순서를 세로로 표시했다. 첫째 자리에는 3가지, 둘째 자리에는 4가지, 셋째 자리에는 2가지라고 적은 뒤 3×4×2=24를 계산했다. 이후 “같은 숫자를 사용할 수 없다”는 문장을 동그라미 치고도 이미 구한 24를 답으로 옮기려 했다. 풀이를 다시 살펴보게 하자 학생은 둘째 자리에서 첫째 자리와 겹치는 경우를 빼야 한다고 말했지만, 셋째 자리까지 어떤 선택이 줄어드는지는 보류했다.

두 번 세어진 경우를 먼저 찾아내기

오류는 계산 결과가 아니라 곱셈을 하기 전에 각 단계의 선택 수가 서로 독립적인지 확인하지 않은 데서 시작됐다. 둘째 자리는 처음에는 4개처럼 보이지만, 첫째 자리에서 1을 골랐다면 둘째 자리에서는 1을 제외한 3개만 가능하다. 첫째 자리에서 2나 3을 골라도 똑같이 둘째 자리는 3개다.

조건이 앞 단계의 선택을 막으면, 다음 단계의 선택 수를 처음부터 그대로 곱하지 않는다.

학생은 표를 다시 만들었다. 첫째 자리 선택을 1, 2, 3으로 나누고 둘째 자리는 각각 3개로 표시했다. 셋째 자리에서는 5와 6이 앞의 두 자리 숫자에 포함되지 않으므로 두 선택이 모두 남는다고 확인했다. 따라서 가능한 번호의 수는 3×3×2=18이다. 처음의 24에는 같은 숫자가 반복되는 번호가 포함되어 있었고, 그 부분이 중복 계산된 셈이었다. 이미 맞게 세었던 첫째 자리의 3가지와 셋째 자리의 2가지는 유지하고, 조건 때문에 달라진 둘째 자리만 고쳤다.

경계가 바뀌는 문제로 확인하기

이어 숫자를 직접 세는 대신, “세 자리 번호에서 적어도 한 번은 0이 사용되는 경우”를 묻는 문제를 제시했다. 학생은 원하는 경우를 바로 나누어 세려다가 잠시 멈추고, 반대 사건을 세는 편이 간단한지 살폈다. 이번에는 첫째 자리가 1, 2, 3이고 셋째 자리가 5 또는 6이므로 0은 둘째 자리에만 나타날 수 있었다. 전체 경우는 앞에서 구한 18가지가 아니라, 조건이 “같은 숫자를 사용하지 않음”으로 유지되는 전체 경우를 기준으로 해야 했다.

학생은 0이 사용되지 않는 경우를 먼저 세었다. 첫째 자리는 3가지, 둘째 자리는 1과 2와 3 중 첫째 자리와 겹치지 않는 2가지, 셋째 자리는 5와 6 중 2가지이므로 3×2×2=12가지였다. 따라서 적어도 한 번 0이 사용되는 경우는 전체 18에서 12를 뺀 6가지라고 정리했다. ‘적어도 한 번’이라는 질문의 경계가 0이 없는 경우를 빼는 방식으로 바뀐다는 점도 풀이 옆에 적었다.

표와 질문의 방향을 바꾼 독립 적용

다음 문제는 세 자리 번호가 아니라 행사 좌석표였다. 첫 번째 줄에는 A, B, C, 두 번째 줄에는 1, 2, 3, 4가 있고, 문자 하나와 숫자 하나를 골라 좌석 표시를 만든다. 단, 숫자 2는 사용할 수 없고 문자와 숫자를 중복해 고르는 문제도 아니었다. 학생은 표에서 사용 가능한 문자를 3개, 숫자를 3개로 지운 뒤 3×3=9라고 계산했다.

이번에는 “전체 좌석 표시 중 숫자가 4인 경우의 확률”을 물었다. 학생은 전체 경우 9를 다시 세고, 숫자 4에 대응하는 문자가 A, B, C 세 개라는 것을 표시했다. 원하는 경우 3, 전체 경우 9이므로 확률을 3/9=1/3로 썼다. 앞 문제처럼 여사건을 쓰지 않고, 질문이 특정 숫자를 직접 요구할 때는 원하는 경우를 바로 세도 된다고 설명했다.

힌트 없이 세운 첫 판단과 검산

산남동중2수학과외 수업의 끝부분에는 새로운 조건이 나왔다. 네 개의 카드 1, 2, 3, 4 중 두 장을 차례로 뽑되 다시 넣지 않을 때, 두 카드 중 적어도 한 장이 1인 경우를 구하는 문제였다. 학생은 먼저 “적어도 한 장”이므로 1이 한 장도 없는 경우를 빼겠다고 스스로 판단했다. 전체 경우는 첫 장 4가지와 둘째 장 3가지로 12가지, 1이 없는 경우는 첫 장 3가지와 둘째 장 2가지로 6가지였다.

학생은 12-6=6이라고 답한 뒤, 확률을 6/12=1/2로 계산했다. 이어 0과 1 사이에 있는지 확인하고, 직접 세어 1이 첫 장에 나오는 경우 3가지와 둘째 장에 나오는 경우 3가지를 더해도 6가지가 된다고 검산했다. 두 경우가 동시에 일어날 수 없는 이유는 카드를 다시 넣지 않기 때문이라고 덧붙였다. 조건의 경계와 중복 여부를 먼저 나눈 뒤 곱의 법칙을 적용하는 판단을 도움 없이 재현한 장면이었다.