산남동 중3수학과외

산남동 중3수학과외에서 살펴본 산점도 비교

산남동과외 수업에서 산남중학교가 포함된 생활권의 학습 사례를 바탕으로, 두 산점도의 상관 정도를 비교하는 문제를 다뤘습니다.

첫 풀이에 남은 표시

문제에는 다음 두 산점도가 제시되었습니다. 가로축은 ‘하루 공부 시간’, 세로축은 ‘수학 문제 해결 수’였습니다. 두 그림 모두 점들이 오른쪽 위로 향하는 모습이었지만, 차이가 있었습니다.

• 산점도 A: 점들이 오른쪽 위 방향으로 비교적 가까이 모여 있었다.
• 산점도 B: 전체적으로는 오른쪽 위 방향이지만, 왼쪽 위와 오른쪽 아래에 떨어진 점이 여러 개 있었다.

질문은 “두 자료 중 양의 상관관계가 더 뚜렷한 것은 어느 것인가?”였습니다. 학생은 A와 B를 빠르게 훑은 뒤, B의 오른쪽 위에 있는 점들이 더 많다는 이유로 B를 선택했습니다. 풀이 기록에는 “B가 위로 올라가는 점이 더 눈에 띄므로 B의 상관이 더 강하다”고 적혀 있었습니다.

학생의 첫 판단: “오른쪽 위에 있는 점의 수가 많고 상승 모양이 선명한 B가 더 강한 양의 상관이다.”

하지만 이 문제에서 비교해야 하는 것은 특정 부분의 점 개수나 그림의 겉모양이 아닙니다. 가로축과 세로축이 각각 무엇을 뜻하는지 확인한 다음, 전체 점들이 한 방향으로 얼마나 모여 있는지를 살펴봐야 합니다.

모양이 아니라 전체 흐름을 읽기

가장 먼저 어긋난 지점은 B의 일부 점만 보고 전체 관계를 단정한 것입니다. 축의 의미를 바꾸어 읽은 것은 아니고 계산도 필요하지 않았으므로, 이미 확인한 ‘두 축의 의미’를 그대로 유지하면서 점 전체를 다시 보았습니다.

학생은 A와 B의 점을 각각 왼쪽에서 오른쪽으로 따라가며 표시했습니다. A에서는 공부 시간이 늘어날수록 문제 해결 수도 대체로 늘어나고, 점들이 그 흐름 가까이에 모여 있었습니다. B에서는 오른쪽 위로 향하는 점도 있었지만, 공부 시간이 짧은데 문제 해결 수가 큰 점과 공부 시간이 긴데 해결 수가 작은 점이 함께 나타났습니다.

따라서 B 역시 양의 방향을 보일 수는 있지만, 점들이 한 방향으로 모인 정도는 A보다 약합니다. 정답은 A입니다. 이때 수정한 행동은 하나뿐입니다. 일부 점을 근거로 삼던 방식을 멈추고, 두 축을 확인한 뒤 전체 점의 분포와 흐름을 비교한 것입니다. 학생이 처음 적은 축의 의미와 문제의 조건은 그대로 두고 판단 부분만 고쳤습니다.

표현을 바꾼 독립 문제

다음 시간에는 그림을 그대로 복사하지 않고 표와 질문의 방향을 바꾸었습니다. 가로축은 ‘주행 거리’, 세로축은 ‘남은 배터리 양’으로 제시하고, 두 산점도에서 다음과 같은 분포를 말로 설명했습니다.

• 자료 ㄱ: 주행 거리가 커질수록 남은 배터리 양이 대체로 낮아지며, 대부분의 점이 그 흐름 주변에 모여 있다.
• 자료 ㄴ: 주행 거리가 커질수록 배터리 양이 낮아지는 점도 있지만, 중간 거리에서 높은 값과 낮은 값이 넓게 섞여 있다.

이번 질문은 “음의 상관관계가 더 뚜렷한 자료를 고르고 이유를 쓰시오”였습니다. 학생은 이번에는 먼저 “가로축은 거리, 세로축은 배터리 양”이라고 적었습니다. 이어서 오른쪽으로 갈수록 아래로 향하는지 확인하고, 자료 ㄱ의 점들이 같은 방향으로 더 촘촘하게 모였다고 설명했습니다.

질문의 문장이 양의 상관관계에서 음의 상관관계로 바뀌고, 축의 의미와 점의 배열도 달라졌지만 판단 기준은 같았습니다. 한두 점의 위치가 아니라 전체 점 분포가 한 방향으로 모이는지를 확인한 것입니다. 특히 자료 ㄴ의 일부 점이 뚜렷한 하강 방향을 보인다는 이유만으로 더 강하다고 말하지 않은 점이 중요했습니다.

힌트 없이 다시 확인한 산점도

마지막에는 도움 없이 새로운 두 산점도를 제시했습니다. 가로축은 ‘주간 운동 횟수’, 세로축은 ‘수면 시간’이었고, 질문은 “상관관계가 거의 나타나지 않는 자료를 고르시오”였습니다.

학생은 두 축의 의미를 먼저 읽은 뒤, 자료 1은 점들이 오른쪽으로 갈수록 위로 모이는 흐름이 있지만 자료 2는 왼쪽과 오른쪽에 높은 점과 낮은 점이 섞여 있다고 설명했습니다. 자료 2의 가운데 부분에 위쪽 점이 몇 개 있었지만, 그것만으로 방향을 정할 수 없다고 덧붙였습니다.

“자료 2는 일부 점만 보면 상승하는 것처럼 보이지만, 전체 점이 한 방향으로 모이지 않는다. 따라서 뚜렷한 상관관계가 거의 없다고 판단한다.”

마지막 검산은 계산이 아니라 근거의 일치 여부로 했습니다. 선택한 답이 전체 점의 흐름과 맞는지, 일부 점이나 그림의 외곽 모양만으로 판단하지 않았는지 스스로 되짚었습니다. 산남동중3수학과외에서도 이처럼 축의 의미와 전체 분포를 끝까지 확인하면, 산점도의 상관 정도를 비교할 때 겉모양에 흔들리지 않고 판단할 수 있습니다.