산남동 고2수학과외







계산값보다 먼저 확인해야 할 삼각형의 방향
산남고등학교 학생의 사인법칙 풀이에서 가장 먼저 발견된 오류는 계산식 자체가 아니라 결과를 검토하지 않은 점이었다. 각이 클수록 그 맞은편 변도 길어야 하는데, 계산된 변의 순서가 이 기본 관계와 반대로 나왔다.
각의 순서만으로 예상하기
삼각형 ABC에서 ∠A=30°, ∠B=45°, ∠C=105°라 하자. 변 a, b, c는 각각 A, B, C의 맞은편 변이다.
각의 크기는
∠C > ∠B > ∠A
이므로 변의 길이도 반드시
c > b > a
이어야 한다. 이 판단은 수치를 계산하기 전에도 할 수 있다.
사인법칙 계산과 오류 추적
a=4일 때 사인법칙을 적용하면
a/sin A = b/sin B = c/sin C
이다. 따라서
b = 4×sin45°/sin30° = 4√2
이고,
c = 4×sin105°/sin30° = 8sin105° = 2(√6+√2)
이다. 근삿값은 a=4, b≈5.66, c≈7.73이므로 예상한 c>b>a와 일치한다.
불가능한 결과를 걸러내는 기준
만약 풀이 기록에 c=3.8 또는 c<b와 같은 값이 적혀 있다면, 105°의 맞은편 변이 가장 짧아지는 셈이다. 이는 사인법칙의 비례식보다 먼저 성립해야 하는 삼각형의 기본 대소 관계와 모순된다.
따라서 계산 결과가 각의 순서와 맞지 않을 때는 sin 값의 대응 위치, 맞은편 변의 지정, 나눗셈을 차례로 다시 확인해야 한다. 산남동과외에서도 이처럼 결과를 기하적 관계와 대조하는 습관을 함께 점검할 수 있다.
수치가 없어도 가능한 최종 검증
각의 크기만 주어진 경우에도 변의 순서는 결정된다. 가장 큰 각의 맞은편 변이 가장 길고, 가장 작은 각의 맞은편 변이 가장 짧다는 원칙을 먼저 적어 두면 사인법칙 계산의 오류를 빠르게 찾아낼 수 있다.