쌍용지구 중등수학과외

쌍용지구중등수학과외, 닮음비 방향을 바꿔도 40이 되는지 확인하는 방법

닮은 두 삼각형에서 대응하는 한 변의 길이가 작은 삼각형 3, 큰 삼각형 6이고, 작은 삼각형의 다른 대응변이 20일 때 큰 삼각형의 길이를 구하는 문제를 생각해 보겠습니다. 구할 길이를 x라 하면 핵심은 3과 6이 어느 삼각형의 변인지, 20과 x가 각각 어디에 속하는지를 같은 기준으로 연결하는 데 있습니다. 기본 문제는 설명할 수 있어도, 비교 문제에서 비례식의 순서를 뒤집으면 판단이 멈출 수 있습니다. 쌍용지구중등수학과외에서는 답만 맞히는지보다 닮음비의 기준 방향을 바꾸었을 때도 관계를 유지하는지를 함께 살펴볼 수 있습니다.

대응변을 같은 줄에 놓아 기본 관계를 읽기

먼저 대응 꼭짓점을 확인한 뒤, 대응변을 표의 같은 줄에 적습니다. 작은 삼각형의 변 3에는 큰 삼각형의 변 6이 대응하고, 작은 삼각형의 변 20에는 큰 삼각형의 변 x가 대응합니다. 작은 것 대 큰 것의 비를 고르면 3:6=20:x입니다. 3:6은 1:2이므로 큰 삼각형의 대응변은 작은 삼각형의 2배입니다. 따라서 x=20×2=40입니다. 비례식으로도 3x=6×20=120, x=40이 됩니다. 여기서 40은 단순한 계산 결과가 아니라, 길이 20에 대응하는 큰 삼각형의 변의 길이입니다. 20을 두 배 했으므로 큰 변이 작은 변보다 길어야 한다는 크기 판단도 답과 맞습니다.

순서를 뒤집을 때 달라지는 것은 비의 표기뿐

비교 과제에서는 작은 삼각형과 큰 삼각형의 순서를 뒤집어 씁니다. 이때 앞의 식을 기계적으로 복사하기보다, 이번에는 큰 것 대 작은 것이라고 화살표를 먼저 표시합니다. 그러면 6:3=x:20, 즉 6/3=x/20입니다. 닮음비는 2:1이고 x=20×2=40입니다. 기본 과제의 3:6=20:x와 비교 과제의 6:3=x:20은 분자와 분모의 삼각형 기준이 함께 바뀌었습니다. 한쪽만 뒤집어 6/3=20/x처럼 쓰면 대응하는 변의 위치가 어긋납니다. “분자의 길이는 모두 같은 삼각형에서 골랐나요?”라고 확인하면, 숫자 순서가 아니라 같은 삼각형끼리 비를 만들었는지 점검할 수 있습니다.

며칠 뒤 풀이에서 확인할 두 가지

당일에는 대응변 표와 방향 화살표를 사용해 식을 정리하고, 며칠 뒤에는 기록 없이 같은 관계를 다시 세워 보게 합니다. 확인할 내용은 두 가지입니다. 첫째, 기본 문제와 비교 문제에서 달라진 조건이 ‘작은 것 대 큰 것’에서 ‘큰 것 대 작은 것’으로 비의 기준이 바뀐 점임을 말할 수 있는지입니다. 둘째, 큰 삼각형을 먼저 써도 구한 길이는 같은지 근거를 들어 설명하는지입니다. 6/3=x/20에서 x=40을 얻고, 이를 3/6=20/40에 대입해 1/2=1/2가 되는지 확인하면 두 표기가 같은 닮음 관계를 나타냄을 검산할 수 있습니다. 비교 과제의 첫 비례식을 스스로 선택하고 두 질문에 대응변의 위치를 근거로 답할 때, 다음 변형에서는 닮음비 방향을 바꾼 문제로 범위를 넓혀 확인합니다.