쌍용지구 중1수학과외

쌍용지구 중1수학과외에서 확인한 합동 조건의 실제 적용

이번 쌍용지구과외에서는 여러 도형 중 어떤 두 삼각형이 합동인지 판단하는 과정을 한 학생의 풀이 흐름에 맞춰 살펴보았다.

도형을 돌려 놓자 사라진 대응 관계

문제에는 삼각형 ㄱㄴㄷ과 삼각형 ㄹㅁㅂ가 제시되어 있었다. ㄱㄴ=ㄹㅁ, ㄴㄷ=ㅁㅂ, ∠ㄴ=∠ㅁ이라는 세 조건이 표시되어 있었고, 두 변과 그 사이 각이 같으므로 SAS 합동을 이용할 수 있는 상황이었다.

학생은 그림을 보자마자 교과서에서 풀었던 순서를 떠올려 답안에 “두 변과 한 각이 같으므로 SAS”라고 적었다. 그러나 도형이 회전되어 있어 ㄱ과 ㄹ, ㄴ과 ㅁ, ㄷ과 ㅂ의 연결을 먼저 확인하지 않았다. 이어서 ㄱㄷ과 ㄹㅂ이 대응한다고 단정하고, 표시되지 않은 각까지 같다고 써 내려갔다.

풀이가 어긋난 최초의 지점은 SAS라는 이름을 고른 것이 아니라, 대응점을 정하지 않은 채 조건을 읽기 시작한 것이었다. 합동 조건을 적용하려면 같은 위치처럼 보이는 부분이 아니라, 주어진 길이와 각이 서로 어떻게 연결되는지 먼저 살펴야 한다.

조건표를 이용해 대응을 다시 세우다

학생은 그림 옆에 다음과 같이 대응표를 만들었다.

• ㄱㄴ ↔ ㄹㅁ
• ㄴㄷ ↔ ㅁㅂ
• ∠ㄴ ↔ ∠ㅁ

두 길이가 모두 ∠ㄴ과 ∠ㅁ을 끼고 있다는 점을 표시하자 ㄴ과 ㅁ이 서로 대응하는 꼭짓점임을 알 수 있었다. 따라서 ㄱ은 ㄹ, ㄷ은 ㅂ과 연결된다. 표시되지 않은 ㄱㄷ과 ㄹㅂ을 근거 없이 먼저 사용하지 않고, 주어진 두 변과 그 사이의 각만으로 SAS 합동을 판단했다.

“대응점을 먼저 연결하면, 주어진 두 변이 같은 각의 양옆에 놓였는지 확인할 수 있다.”

학생은 그 뒤 “ㄱㄴ=ㄹㅁ, ㄴㄷ=ㅁㅂ, ∠ㄴ=∠ㅁ이고 이 각은 두 변 사이의 각이므로 △ㄱㄴㄷ과 △ㄹㅁㅂ는 SAS 조건으로 합동이다”라고 다시 작성했다. 처음 잘못 적었던 ㄱㄷ과 ㄹㅂ에 대한 판단은 삭제하고, 이미 맞게 읽었던 두 변의 표시와 각의 위치는 그대로 유지했다.

표 자료와 회전된 그림으로 바꾼 독립 적용

다음 문제에서는 두 삼각형 그림 대신 조건이 표로 제시되었다. 표에는 첫 번째 삼각형의 변 ㄱㄴ, ㄴㄷ와 끼인각 ㄴ, 두 번째 삼각형의 변 ㅅㅇ, ㅇㅈ와 끼인각 ㅇ이 대응된다고 적혀 있었다. 질문도 “두 삼각형이 합동인지 쓰시오”가 아니라 “두 번째 삼각형에서 첫 번째 삼각형의 ㄷ에 대응하는 꼭짓점을 구하고, 판단 근거를 설명하시오”로 바뀌었다.

학생은 표의 순서를 그대로 외우지 않고 각의 이름부터 확인했다. ∠ㄴ과 ∠ㅇ이 서로 대응하므로 ㄴ↔ㅇ, ㄱㄴ↔ㅅㅇ에서 ㄱ↔ㅅ, ㄴㄷ↔ㅇㅈ에서 ㄷ↔ㅈ이라고 연결했다. 이후 도형을 시계 방향으로 돌려 그린 작은 그림에서도 같은 대응을 표시했다.

답안에는 “ㄷ에 대응하는 점은 ㅈ이다. 두 삼각형에서 대응하는 두 변 ㄱㄴ과 ㅅㅇ, ㄴㄷ과 ㅇㅈ의 길이가 각각 같고, 그 사이의 각 ㄴ과 ㅇ도 같으므로 SAS 합동을 이용한다”라고 적었다. 그림의 방향과 질문 순서가 달라졌지만, 대응점·대응변·끼인각을 차례로 연결해 판단한 것이다.

힌트 없이 다시 확인한 합동 판단

검증 문제에서는 표시가 적은 두 삼각형이 주어지고, 보기에는 세 변이 같다는 후보와 SAS 조건이라는 후보가 함께 제시되었다. 학생은 보기부터 고르지 않고 각의 위치를 먼저 찾았다. ∠ㄹ을 중심으로 ㄹㅁ과 ㄹㅂ가 주어져 있고, 다른 삼각형에서는 ∠ㄱ을 중심으로 ㄱㄴ과 ㄱㄷ가 주어져 있음을 확인했다.

학생은 ㄹ↔ㄱ, ㄹㅁ↔ㄱㄴ, ㄹㅂ↔ㄱㄷ으로 대응을 적은 뒤, 두 변이 각각 같고 그 사이의 각도 같으므로 SAS라고 설명했다. 끝으로 합동 순서를 △ㄹㅁㅂ≡△ㄱㄴㄷ으로 다시 읽어 각 꼭짓점의 대응이 맞는지 점검했다.

“합동 조건을 고른 근거는 세 변을 모두 사용한 것이 아니라, 같은 각을 끼고 있는 두 변과 그 각을 정확히 대응시켰기 때문이다.”

이처럼 쌍용지구중1수학과외에서는 회전된 도형, 표로 바뀐 조건, 질문 방향이 달라진 문제에서도 외운 순서에 의존하지 않고 대응 관계를 먼저 세운 뒤 SAS 합동 여부를 스스로 재현하도록 풀이를 이어 갔다.