쌍용지구 중2수학과외

수직이등분선에서 출발한 외심 판단

쌍용지구과외 수업에서 학생은 삼각형의 외심과 수직이등분선 관계를 다룬 문항을 펼쳤다. 쌍용지구와 두정역마을이 이어지는 생활권, 천안쌍용중학교가 포함된 주변 학습 사례에서도 자주 보이는 유형이지만, 이번 문제에는 ‘외심’이라는 말이 직접 제시되지 않았다. 그림에는 삼각형 ABC와 한 점 O가 있고, O에서 세 꼭짓점까지의 선분이 그려져 있었다.

학생은 먼저 그림에서 같은 길이로 표시된 선분에 동그라미를 치고, 직각 표시가 있는 곳에는 네모 표시를 했다. 이어서 AB의 가운데 점을 M이라고 읽은 뒤 AM과 MB가 같은지 확인하고, OM이 AB에 수직인지 살폈다. 그러나 AC 쪽 표시를 읽기 전에 “두 삼각형이 보이니 합동조건부터 찾으면 된다”고 적었다. 학생이 처음 잘못 선택한 판단은 대응점과 대응변을 정하기 전에 합동조건을 먼저 고른 것이었다. 그 결과 △AOM과 △BOM을 비교하면서 필요한 변과 각을 그림의 위치만 보고 임의로 대응시켰다.

합동보다 먼저 확인할 한 가지

교사는 풀이 전체를 지우게 하지 않고, 학생이 정확히 읽어 낸 AM=MB와 OM⊥AB 표시는 그대로 남겼다. 그리고 “이 두 조건이 함께 말해 주는 선은 무엇인가?”라고 물었다. 학생은 M이 AB의 중점이고 OM이 AB에 수직이므로 OM이 AB의 수직이등분선이라고 다시 적었다.

한 변의 중점을 지나고 그 변에 수직인 선 위의 점은 그 변의 양 끝점에서 같은 거리에 있다.

학생은 이 기준으로 O를 보았다. O가 AB의 수직이등분선 위에 있으므로 OA=OB라고 설명했고, AC의 수직이등분선 위에도 O가 있다는 표시를 확인한 뒤 OA=OC를 연결했다. 따라서 OA=OB=OC이며, O는 세 꼭짓점에서 같은 거리에 있는 점, 즉 삼각형의 외심이라고 결론 내렸다. 처음부터 합동조건을 고르는 대신 중점과 수직이라는 표시를 찾아 수직이등분선 여부를 먼저 판단하는 순서 하나만 남긴 것이다.

이후 학생은 합동을 사용할 때도 달라졌다. △AOM과 △BOM을 비교할 때 먼저 A와 B, M과 M, O와 O를 대응점으로 연결하고, 그 뒤 AM=BM, OM은 공통, ∠AMO=∠BMO=90°를 적었다. 대응점이 정해진 뒤에야 필요한 조건을 골랐기 때문에 두 삼각형의 대응변과 대응각이 흔들리지 않았다. 풀이 마지막에는 원래 그림으로 돌아가 OA와 OB에 같은 표시를 붙이고, OA=OC까지 이어지는지 검산했다.

그림이 없는 조건 문장으로 바꾸어 보기

같은 개념을 확인하기 위해 숫자만 바꾼 문제가 아니라 표현을 바꾼 문제를 제시했다.

삼각형 PQR에서 점 X는 PQ의 중점을 지나고 PQ에 수직인 직선 위에 있다. 또 점 X는 QR의 수직이등분선 위에 있다. X와 P, Q, R 사이의 거리 관계를 설명하고 X의 역할을 말하여라.

학생은 그림을 먼저 그리려 하지 않고 문장에 나온 조건에 밑줄을 그었다. ‘PQ의 중점’, ‘PQ에 수직’, ‘QR의 수직이등분선’을 각각 표시한 뒤 XP=XQ를 적었다. 이어서 X가 QR의 수직이등분선 위에 있으므로 XQ=XR이라고 썼다. 두 식을 연결해 XP=XQ=XR을 만들고, X가 삼각형 PQR의 외심이라고 설명했다. 이번에는 질문이 특정 선분의 길이를 구하는 형태가 아니라 점의 역할과 거리 관계를 묻고 있었지만, 학생은 수직이등분선이라는 판단 기준을 유지했다.

힌트 없이 다시 세운 첫 판단

한 주 뒤 쌍용지구중2수학과외 복습에서 새로운 그림을 제시했다. 이번 그림에는 삼각형 DEF와 점 Y가 있고, YD와 YE에는 같은 길이 표시가 없었다. 대신 Y가 DE의 수직이등분선 위에 있고, YD와 YF가 같은 길이라는 조건이 문장으로 주어졌다.

학생은 도움을 기다리지 않고 첫 줄에 “Y가 DE의 수직이등분선 위에 있으므로 YD=YE”라고 적었다. 이어 “YD=YF도 주어졌으므로 YD=YE=YF”라고 연결한 뒤, Y는 세 꼭짓점 D, E, F에서 같은 거리에 있으므로 외심이라고 설명했다. 마지막으로 DE의 중점을 N으로 표시해 DN=NE인지, YN이 DE에 수직인지 조건을 다시 대조했다. 학생은 “외심을 찾을 때는 같은 거리 표시를 먼저 찾는 것이 아니라, 점이 어느 변의 수직이등분선 위에 있는지부터 확인해야 한다”고 검산 근거까지 스스로 말하며 풀이를 마쳤다.

쌍용지구 중2수학과외 학부모 후기

숙제를 끝낸 뒤 아이가 바로 답을 맞혀 보지 않고, 확률 문제 옆에 작은 칸을 여러 개 그려 경우를 나누고 있더라고요. 겹치는 내용은 손가락으로 짚어 가며 하나씩 지웠어요. 예예전에는 궁금한 점이 생겨도 그냥 넘어가거나, 나중에 물어보려고 따로 적어 두는 일은 거의 없었거든요. 쌍용지구 수학과외 이야기를 나누던 중에도 이런 장면이 떠올랐어요. 이번에는 문제를 풀다가 막힌 부분과 확인할 내용을 종이에 짧게 남겨 두고 있었습니다. 단순히 답만 표시한 게 아니라 어떤 경우가 겹쳤는지 본인이 다시 볼 수 있게 적어 둔 점이 달랐어요. 학교 자습 시간에 다른 확률 문제를 읽을 때도 전체 자료를 펼쳐 놓지는 않았어요. 필요한 부분만 골라 작은 표처럼 정리하고, 중복되는 경우를 지운 뒤 남은 내용만 옆에 두고 풀이를 이어 갔습니다.

★★★★★학부모 후기

모의고사를 본 날 밤, 지나가다 아이가 벡터 문제 앞에서 멈춰 있는 걸 보게 됐어요. 그냥 답만 확인하는 줄 알았는데 시작점과 끝점 좌표를 종이에 다시 적고, 두 점의 위치를 하나씩 살펴보더라고요. 쌍용지구 수학과외 이야기를 나누던 때에도 이런 장면은 눈여겨보게 됐습니다. 예전에는 다시 볼 문제가 있어도 어디가 필요한지 따로 표시해 두지 않았거든요. 그런데 그날에는 좌표를 적은 뒤 순서대로 성분 차를 계산하고, 다시 확인할 부분이 보이도록 문제 위치까지 남겨뒀어요. 풀이가 맞는지만 급하게 찾는 모습과는 조금 달랐습니다. 학교 수학 숙제를 하던 날에도 시작점과 끝점 좌표부터 적은 다음 벡터 성분을 계산하고 있었습니다. 자료를 정리할 때도 나중에 볼 위치가 바로 보이게 해두어서, 문제 옆에 남은 좌표와 계산 과정이 먼저 눈에 들어왔어요.

★★★★★학부모 후기

문제집을 챙기다가 맨 뒤쪽에 짧게 적힌 메모가 눈에 들어왔어요. 자주 틀리는 계산 습관을 그냥 지나치지 않고, 어떤 식으로 실수하는지 자기 말로 남겨 둔 흔적이더라고요. 쌍용지구 수학과외를 알아보던 중에도 아이가 공부한 뒤 이런 부분까지 살펴볼 거라고는 생각하지 못했거든요. 예전에는 문제를 다 풀고 나면 그날 어떤 판단을 했는지 다시 돌아보는 일이 거의 없었어요. 그런데 시험이 없는 평일 밤에도 반복되는 계산 실수를 한 문장으로 적어 두고, 다음에 확인할 곳까지 남겨 둔 뒤 책상을 정리하고 있었습니다. 문제를 끝낸 뒤 바로 치우던 모습과 달리, 계산 과정에서 걸렸던 부분을 다시 찾아볼 자리를 마련해 둔 점이 기억에 남더라고요.

★★★★★학부모 후기

쌍용지구에서 수학과외를 시작할 때만 해도 아이는 집중이 금방 흐트러져 숙제를 다 끝내는 데 의미를 두곤 했습니다. 어느 날 한 문제만 남기고 선생님께 풀이 과정을 차분히 설명하는 모습을 보니, 막힌 부분을 편하게 묻고 스스로 생각해보는 분위기가 느껴졌습니다. 수업 후에는 오늘 할 일과 다음에 복습할 내용을 직접 확인하며 시작하는 날이 조금씩 늘었습니다.

★★★★★학부모 후기

시험 범위를 함께 확인하던 날, 아이가 틀린 문제를 숨기지 않고 어디서 막혔는지 먼저 보여 주어 기억에 남았습니다. 쌍용지구 수학과외 선생님은 답을 재촉하지 않고 생각할 시간을 충분히 주면서, 평일 숙제에서도 틀린 문제를 다시 살펴보도록 차분히 이끌어 주셨습니다. 요즘은 수업이 있는 날에도 예전처럼 부담스러워하지 않습니다.

★★★★★학부모 후기

아이가 쌍용지구 수학과외를 시작한 뒤, 모르는 문제도 혼자 끙끙대기보다 선생님께 풀이 과정을 먼저 설명해 보려는 모습이 눈에 띄었습니다. 선생님은 밀린 숙제를 한꺼번에 내기보다 그날 상황에 맞춰 우선순위를 정하고, 빠르게 진도를 나가기보다 아이가 제대로 이해했는지 확인해 주셨습니다. 수업 후에는 무엇을 다시 봐야 할지 스스로 정리하는 습관이 생겨 공부 시간을 예전보다 편하게 받아들이는 듯했습니다.

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