쌍용지구 중2수학과외

수직이등분선에서 출발한 외심 판단

쌍용지구과외 수업에서 학생은 삼각형의 외심과 수직이등분선 관계를 다룬 문항을 펼쳤다. 그림에는 삼각형 ABC와 한 점 O가 있고, O에서 세 꼭짓점까지의 선분이 그려져 있었다.

학생은 먼저 그림에서 같은 길이로 표시된 선분에 동그라미를 치고, 직각 표시가 있는 곳에는 네모 표시를 했다. 이어서 AB의 가운데 점을 M이라고 읽은 뒤 AM과 MB가 같은지 확인하고, OM이 AB에 수직인지 살폈다. 그러나 AC 쪽 표시를 읽기 전에 “두 삼각형이 보이니 합동조건부터 찾으면 된다”고 적었다. 학생이 처음 잘못 선택한 판단은 대응점과 대응변을 정하기 전에 합동조건을 먼저 고른 것이었다. 그 결과 △AOM과 △BOM을 비교하면서 필요한 변과 각을 그림의 위치만 보고 임의로 대응시켰다.

합동보다 먼저 확인할 한 가지

교사는 풀이 전체를 지우게 하지 않고, 학생이 정확히 읽어 낸 AM=MB와 OM⊥AB 표시는 그대로 남겼다. 그리고 “이 두 조건이 함께 말해 주는 선은 무엇인가?”라고 물었다. 학생은 M이 AB의 중점이고 OM이 AB에 수직이므로 OM이 AB의 수직이등분선이라고 다시 적었다.

한 변의 중점을 지나고 그 변에 수직인 선 위의 점은 그 변의 양 끝점에서 같은 거리에 있다.

학생은 이 기준으로 O를 보았다. O가 AB의 수직이등분선 위에 있으므로 OA=OB라고 설명했고, AC의 수직이등분선 위에도 O가 있다는 표시를 확인한 뒤 OA=OC를 연결했다. 따라서 OA=OB=OC이며, O는 세 꼭짓점에서 같은 거리에 있는 점, 즉 삼각형의 외심이라고 결론 내렸다. 처음부터 합동조건을 고르는 대신 중점과 수직이라는 표시를 찾아 수직이등분선 여부를 먼저 판단하는 순서 하나만 남긴 것이다.

이후 학생은 합동을 사용할 때도 달라졌다. △AOM과 △BOM을 비교할 때 먼저 A와 B, M과 M, O와 O를 대응점으로 연결하고, 그 뒤 AM=BM, OM은 공통, ∠AMO=∠BMO=90°를 적었다. 대응점이 정해진 뒤에야 필요한 조건을 골랐기 때문에 두 삼각형의 대응변과 대응각이 흔들리지 않았다. 풀이 마지막에는 원래 그림으로 돌아가 OA와 OB에 같은 표시를 붙이고, OA=OC까지 이어지는지 검산했다.

그림이 없는 조건 문장으로 바꾸어 보기

같은 개념을 확인하기 위해 숫자만 바꾼 문제가 아니라 표현을 바꾼 문제를 제시했다.

삼각형 PQR에서 점 X는 PQ의 중점을 지나고 PQ에 수직인 직선 위에 있다. 또 점 X는 QR의 수직이등분선 위에 있다. X와 P, Q, R 사이의 거리 관계를 설명하고 X의 역할을 말하여라.

학생은 그림을 먼저 그리려 하지 않고 문장에 나온 조건에 밑줄을 그었다. ‘PQ의 중점’, ‘PQ에 수직’, ‘QR의 수직이등분선’을 각각 표시한 뒤 XP=XQ를 적었다. 이어서 X가 QR의 수직이등분선 위에 있으므로 XQ=XR이라고 썼다. 두 식을 연결해 XP=XQ=XR을 만들고, X가 삼각형 PQR의 외심이라고 설명했다. 이번에는 질문이 특정 선분의 길이를 구하는 형태가 아니라 점의 역할과 거리 관계를 묻고 있었지만, 학생은 수직이등분선이라는 판단 기준을 유지했다.

힌트 없이 다시 세운 첫 판단

한 주 뒤 쌍용지구중2수학과외 복습에서 새로운 그림을 제시했다. 이번 그림에는 삼각형 DEF와 점 Y가 있고, YD와 YE에는 같은 길이 표시가 없었다. 대신 Y가 DE의 수직이등분선 위에 있고, YD와 YF가 같은 길이라는 조건이 문장으로 주어졌다.

학생은 도움을 기다리지 않고 첫 줄에 “Y가 DE의 수직이등분선 위에 있으므로 YD=YE”라고 적었다. 이어 “YD=YF도 주어졌으므로 YD=YE=YF”라고 연결한 뒤, Y는 세 꼭짓점 D, E, F에서 같은 거리에 있으므로 외심이라고 설명했다. 마지막으로 DE의 중점을 N으로 표시해 DN=NE인지, YN이 DE에 수직인지 조건을 다시 대조했다. 학생은 “외심을 찾을 때는 같은 거리 표시를 먼저 찾는 것이 아니라, 점이 어느 변의 수직이등분선 위에 있는지부터 확인해야 한다”고 검산 근거까지 스스로 말하며 풀이를 마쳤다.