백석지구 중등수학과외

백석지구중등수학과외, 두 변 20·21과 사이각 60°로 합동을 확인하는 방법

삼각형의 합동에서는 주어진 수가 같다는 사실만큼, 그 수들이 삼각형의 어느 자리에 놓였는지를 읽는 일이 중요합니다. 예를 들어 두 삼각형에 각각 길이 20, 21인 두 변과 그 사이각 60°가 주어졌다면 무엇을 판단할 수 있을까요? 길이 20인 변과 21인 변이 대응하고, 그 두 변이 만나는 각도 모두 60°라면 두 삼각형의 크기와 모양은 하나로 정해집니다.

두 변 사이의 60°가 있어야 SAS 조건이 된다

기본 과제에서는 두 삼각형에 길이 20, 21인 변이 각각 주어지고, 그 사이각이 60°입니다. 두 변을 표시한 뒤 그 두 변의 끝이 만나는 꼭짓점에 60°를 표시하면, 각이 두 변 사이에 있다는 관계가 눈에 보입니다. 이때는 두 변과 그 사이각이 각각 같으므로 SAS 합동 조건을 만족합니다. 따라서 두 삼각형은 합동이라고 결론 낼 수 있습니다. 여기서 20+21처럼 길이를 계산해 새로운 값을 만드는 것이 목적은 아닙니다. 세 조건이 대응하는 위치에 주어져 삼각형 하나의 모양을 고정한다는 점이 핵심입니다. 대응 꼭짓점에는 같은 색을 쓰고, 길이 20의 변·길이 21의 변·그 사이의 60°를 같은 순서로 둘러보게 하면 ‘각 하나가 있다’와 ‘사이각이 있다’의 차이를 분명히 볼 수 있습니다.

60°를 지우면 길이는 같아도 모양이 달라질 수 있다

비교 과제에서는 사이각 60° 조건을 삭제하고 길이 20, 21인 두 변만 남깁니다. 이 경우 합동을 확정할 수 없습니다. 한 꼭짓점에서 길이 20과 21인 두 선분을 만들되, 그 사이각을 60°가 아닌 다른 각으로 벌릴 수 있기 때문입니다. 예를 들어 사이각을 더 크게 또는 더 작게 정하면 세 번째 변의 길이와 전체 모양도 달라질 수 있습니다. 두 변의 길이가 같다는 조건은 유지되지만, 두 변이 이루는 각이 정해지지 않았으므로 삼각형은 하나로 결정되지 않습니다.

풀이를 고칠 때는 기본 과제와 비교 과제를 나란히 적고, 먼저 사라진 ‘60°’에 표시합니다. 이어 “주어진 각은 두 변 사이의 각인가요?”라고 짧게 묻고, 비교 과제에서는 그 각 자체가 없다는 것을 확인합니다. 만약 “두 변이 같으니 합동”이라고 썼다면, 길이 20과 21은 그대로 두고 사이각만 바꾼 두 그림을 떠올려 보게 합니다. 같은 두 변으로 서로 다른 모양을 만들 수 있다는 사실이 드러나면, SAS의 S·A·S 중 가운데 A가 빠졌다는 수정이 가능합니다.

며칠 뒤에는 답보다 첫 표시와 근거를 다시 본다

당일에 두 과제의 차이를 말할 수 있어도, 며칠 뒤 기록 없이 다시 풀 때 같은 판단을 하는지는 별도로 확인할 필요가 있습니다. 기본 과제에서는 ‘20, 21, 그 사이각 60° → SAS 합동’이라고 조건과 결론을 연결하는지 봅니다. 비교 과제에서는 ‘60°가 삭제됨 → 사이각을 다르게 한 삼각형 가능 → 합동 확정 불가’라는 흐름을 스스로 적는지 확인합니다. 정답만 맞았는지보다, 첫 단계에서 사라진 각 조건을 표시했는지와 확정할 수 없는 이유를 설명했는지가 더 직접적인 확인 자료가 됩니다.

다음 단계는 두 변과 각이 주어진 다른 문제로 곧바로 난도를 높이는 것이 아니라, 각이 정말 두 변 사이에 있는지 먼저 판별하는 연습입니다. “각도 조건을 없애고 두 변만 남겨도 모양이 정해지나요?”라는 질문에 서로 다른 사이각을 근거로 답하고, 비교 과제의 첫 판단을 도움 없이 선택할 수 있는지 살핍니다. 그 과정에서 멈춘 위치가 조건 읽기인지, SAS 적용인지 구분하면 이후 복습 범위도 더 정확하게 정할 수 있습니다.