백석지구 중1수학과외

백석지구 중1수학과외에서 다룬 합동 조건의 경계 판단

백석지구과외 수업에서 학생과 함께 천안두정중학교가 포함된 생활권의 도형 문제를 살펴보았다. 극동늘푸른아파트가 있는 생활권에서 자주 접할 수 있는 삼각형 모양의 안내판을 소재로 한 문제였지만, 핵심은 그림의 모양이 아니라 SAS 합동조건을 실제로 확인하는 일이었다.

학생이 그린 표시에서 시작된 오답

문제에는 삼각형 ABC와 삼각형 DEF가 제시되어 있었고, AB=DE, ∠B=∠E, BC=EF라는 조건이 표시되어 있었다. 학생은 두 그림이 비슷하게 생겼다는 이유로 대응 순서를 먼저 정한 뒤, 노트에 “AB=DE, BC=EF이므로 두 삼각형은 합동”이라고 적었다. 이어서 보기에서 ㄱ, ㄴ, ㄷ을 모두 골랐다.

그런데 보기 중 하나는 두 변과 그 사이각이 아니라, 한 변과 그 변에 붙지 않은 각만을 근거로 합동이라고 주장하고 있었다. 학생은 이미 SAS로 확인한 두 변을 보았기 때문에 그 보기도 같은 조건으로 판단했다.

“틀린 답을 고르는 순간보다 앞서, 주어진 조건의 경계가 어디인지 확인하지 않고 보기의 문장을 바로 합동 조건으로 읽은 것이 출발점이었어.”

학생의 최초 판단은 주어진 두 변 사이에 있는 각인지 확인하기 전에 SAS를 적용한 것이었다. 단순히 변 두 개와 각 하나가 있다는 사실만으로는 충분하지 않았다.

각의 위치를 다시 연결하다

교정은 한 가지 기준으로 좁혔다. 학생이 이미 적은 AB=DE와 BC=EF는 그대로 두고, 두 변이 만나는 점을 각각 찾게 했다. AB와 BC가 만나는 점은 B이고, DE와 EF가 만나는 점은 E였다. 따라서 비교해야 할 각은 ∠B와 ∠E이며, 실제로 ∠B=∠E가 주어져 있었다.

학생은 노트의 표시를 다음처럼 다시 정리했다.

AB와 DE에 같은 표시를 한다.
BC와 EF에 같은 표시를 한다.
두 표시가 만나는 꼭짓점 B와 E를 연결한다.
그 꼭짓점의 각인 ∠B와 ∠E가 같음을 확인한다.

그 뒤 “AB와 BC, 그리고 그 사이각 ∠B가 각각 DE와 EF, 그 사이각 ∠E에 대응하므로 두 삼각형은 SAS로 합동이다”라고 문장으로 설명했다. 반면 변과 각이 만나는 위치가 다른 보기는 이 판단에 필요한 조건이 아니므로 제외했다. 보기의 정답을 맞히는 데서 멈추지 않고, 각이 두 변 사이에 놓였는지를 근거로 후보를 걸러낸 것이다.

도형을 돌리고 질문의 방향을 바꾼 적용

다음 문제에서는 삼각형 DEF를 종이에 반시계 방향으로 돌려 놓고, 조건의 순서도 EF=BC, ∠E=∠B, DE=AB처럼 바꾸었다. 질문은 “두 삼각형이 합동인지 쓰시오”가 아니라 “∠F와 같은 위치의 각을 고르고, 그 이유를 설명하시오”였다.

학생은 그림이 돌아가자 잠시 F와 C를 바로 연결하려 했지만, 이번에는 먼저 같은 변의 양 끝점을 확인했다. DE와 AB가 대응하고 EF와 BC가 대응하므로 DE의 끝점 D와 E는 A와 B에, EF의 끝점 E와 F는 B와 C에 이어진다고 적었다. 두 대응변이 만나는 E와 B가 서로 대응하므로 남은 꼭짓점은 D와 A라고 판단했다.

따라서 ∠F에 대응하는 각은 ∠C라고 답했다. 이어 “도형이 회전해도 대응관계는 변의 연결 상태로 정해야 하며, 두 대응변의 공통 꼭짓점을 먼저 찾으면 남은 점도 결정된다”고 설명했다. 숫자를 바꾼 문제가 아니라, 보기 없이 대응점을 찾아야 하는 상황에서 같은 SAS 판단을 사용한 것이다.

가려진 해설 없이 다시 세운 풀이

마지막 확인에서는 조건을 한 줄씩 가린 문제를 제시했다. 학생에게는 그림의 변 표시와 각 표시만 남겼고, 정답 보기나 풀이 순서는 보여 주지 않았다. 학생은 먼저 같은 표시가 있는 두 변을 찾고, 그 두 변이 만나는 꼭짓점을 각각 표시했다. 이어 표시된 두 각을 비교하여 어느 각이 두 변 사이에 있는지 확인했다.

학생은 “두 변만 같다고 바로 합동이라고 할 수 없고, 그 두 변 사이의 각까지 같아야 SAS이다. 이 그림에서는 AB와 BC가 ∠B에서 만나고, DE와 EF가 ∠E에서 만나므로 ∠B와 ∠E를 비교한다”고 말했다. 또 대응점이 A-D, B-E, C-F로 이어진다는 것을 변의 연결 순서로 다시 확인했다.

마지막으로 합동을 이용해 대응각을 묻자, 학생은 답만 쓰지 않고 “B와 E가 대응하고, AB와 DE 및 BC와 EF가 대응하므로 남은 A와 D, C와 F가 각각 대응한다”고 근거를 적었다. 백석지구중1수학과외 수업에서 확인한 변화는 새로운 규칙을 외운 것이 아니라, 도형의 방향과 질문이 달라져도 두 대응변과 그 사이각을 먼저 찾는 순서를 스스로 재현했다는 점이다.

백석지구 중1수학과외 학부모 후기

해설지를 정리하려고 책상 주변을 보다가 같은 문제를 또 풀고 있는 걸 보게 됐어요. 그런데 숫자 부분은 종이로 가려져 있더라고요. 답을 외워서 적는 게 아니라, 숫자가 달라져도 앞에서 했던 판단이 맞는지 확인하려는 모습처럼 보이더라고요. 전에는 복습할 때 문제 전체를 한꺼번에 다시 보는 편이라 어디를 확인하는지 잘 드러나지 않았거든요. 이번에는 필요한 부분을 작게 나눠 가린 뒤 풀이를 이어가고 있었습니다. 백석지구 수학과외 이야기를 나누던 때에도 이런 세밀한 복습 방식이 눈에 띄었어요. 새 문제집을 펼쳤을 때도 비슷한 장면이 나왔습니다. 숫자 몇 개를 가려 놓고 같은 방식으로 풀어 본 다음, 처음에 세운 판단과 나중에 다시 살핀 부분을 함께 표시해 두었어요. 단순히 답을 맞혔는지만 보는 게 아니라 어느 판단을 다시 확인했는지가 남아 있더라고요.

★★★★★학부모 후기

문제집을 한 권 끝낸 날이라 책상 근처를 치우고 있었는데, 적분 문제 몇 장에 그래프가 눈에 띄었어요. 교점이 어디인지, 적분 구간의 끝이 되는 부분이 어딘지 다시 짚어 표시해 둔 흔적이 있더라고요. 예전에는 복습할 때 이미 아는 내용과 다시 봐야 할 부분을 구분하지 않고 전부 한꺼번에 넘기곤 했거든요. 백석지구 수학과외 이야기를 나누던 때와는 별개로, 학교에서 새 숙제를 받아온 날에도 비슷한 장면을 봤어요. 문제를 읽자마자 그래프에 교점과 구간의 경계를 먼저 표시하고, 그 확인이 끝난 부분만 남겨 둔 채 다른 자료는 정리하고 있었습니다. 전에는 바로 식부터 적으려는 모습이 많았는데, 이번에는 그래프에서 필요한 위치를 확인한 다음 식을 세우는 순서가 보이더라고요. 책상 위에는 표시가 끝난 그래프와 그에 맞춰 적힌 식만 남아 있었고요.

★★★★★학부모 후기

중간고사를 일주일 앞두고 아이가 공부를 끝낸 책을 잠깐 봤는데, 어려운 문제 옆에 별표를 해둔 게 아니라 계산 과정의 줄 번호가 적혀 있더라고요. 어디가 막혔는지 표시가 꽤 구체적이라서 예전과는 조금 달라 보이더라고요. 예전에는 정해진 순서대로 문제를 또 풀거나 처음부터 다시 훑는 편이었거든요. 백석지구 수학과외 이야기를 나누던 때에도 이런 부분을 눈여겨봤는데, 이번에는 다시 볼 곳을 스스로 좁혀 둔 점이 먼저 들어왔어요. 막연히 어려운 문제라고 남겨둔 게 아니라 계산 흔적을 따라가며 확인할 자리를 정해둔 거였어요. 단원평가를 준비하던 밤에도 책장을 넘겨보니 계산 줄 번호가 또 적혀 있었습니다. 질문할 부분을 지우거나 대충 표시한 게 아니라, 그대로 남겨둔 채 책을 정리해 놓았더라고요.

★★★★☆학부모 후기

방학 계획을 세우며 백석지구 수학 과외를 시작했지만, 예전에는 복습보다 다음 진도에만 마음이 앞섰습니다. 선생님은 시간을 재촉하지 않고 천천히 풀게 하면서 잘한 점과 계속 유지할 부분을 구체적으로 짚어 주셨고, 이제는 모르는 내용을 숨기지 않고 편하게 말하게 됐습니다.

★★★★★학부모 후기

방학 첫 주에 선생님과 공부 계획을 세우는 모습을 보며 아이를 몰아붙이지 않는 수업이라는 인상을 받았습니다. 백석지구에서 시작한 과외에서도 집중이 흐트러지거나 모르는 문제를 그냥 넘기려 할 때 편하게 질문하도록 기다려 주셨고, 숙제와 복습량도 부담을 살펴 조절해 주셨습니다. 요즘은 맞힌 문제도 풀이가 괜찮았는지 스스로 다시 확인하는 모습이 보여 성적보다 반갑게 느껴졌습니다.

★★★★★학부모 후기

백석지구에서 수학 과외를 시작한 뒤 아이가 틀린 문제를 다시 펼쳐보는 모습이 눈에 띄었습니다. 선생님은 학교 과제와 시험 일정을 살펴 그 주의 수업량을 조절하고, 질문이 서툰 아이도 부담 없이 풀이 과정을 말하도록 기다려 주셨습니다. 예전처럼 어려운 문제를 바로 피하지 않고, 세운 공부 계획을 조금씩 지켜 가는 변화가 반갑게 느껴졌습니다.

★★★★★학부모 후기