백석지구 중1수학과외

백석지구 중1수학과외에서 다룬 합동 조건의 경계 판단

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학생이 그린 표시에서 시작된 오답

문제에는 삼각형 ABC와 삼각형 DEF가 제시되어 있었고, AB=DE, ∠B=∠E, BC=EF라는 조건이 표시되어 있었다. 학생은 두 그림이 비슷하게 생겼다는 이유로 대응 순서를 먼저 정한 뒤, 노트에 “AB=DE, BC=EF이므로 두 삼각형은 합동”이라고 적었다. 이어서 보기에서 ㄱ, ㄴ, ㄷ을 모두 골랐다.

그런데 보기 중 하나는 두 변과 그 사이각이 아니라, 한 변과 그 변에 붙지 않은 각만을 근거로 합동이라고 주장하고 있었다. 학생은 이미 SAS로 확인한 두 변을 보았기 때문에 그 보기도 같은 조건으로 판단했다.

“틀린 답을 고르는 순간보다 앞서, 주어진 조건의 경계가 어디인지 확인하지 않고 보기의 문장을 바로 합동 조건으로 읽은 것이 출발점이었어.”

학생의 최초 판단은 주어진 두 변 사이에 있는 각인지 확인하기 전에 SAS를 적용한 것이었다. 단순히 변 두 개와 각 하나가 있다는 사실만으로는 충분하지 않았다.

각의 위치를 다시 연결하다

교정은 한 가지 기준으로 좁혔다. 학생이 이미 적은 AB=DE와 BC=EF는 그대로 두고, 두 변이 만나는 점을 각각 찾게 했다. AB와 BC가 만나는 점은 B이고, DE와 EF가 만나는 점은 E였다. 따라서 비교해야 할 각은 ∠B와 ∠E이며, 실제로 ∠B=∠E가 주어져 있었다.

학생은 노트의 표시를 다음처럼 다시 정리했다.

• AB와 DE에 같은 표시를 한다.
• BC와 EF에 같은 표시를 한다.
• 두 표시가 만나는 꼭짓점 B와 E를 연결한다.
• 그 꼭짓점의 각인 ∠B와 ∠E가 같음을 확인한다.

그 뒤 “AB와 BC, 그리고 그 사이각 ∠B가 각각 DE와 EF, 그 사이각 ∠E에 대응하므로 두 삼각형은 SAS로 합동이다”라고 문장으로 설명했다. 반면 변과 각이 만나는 위치가 다른 보기는 이 판단에 필요한 조건이 아니므로 제외했다. 보기의 정답을 맞히는 데서 멈추지 않고, 각이 두 변 사이에 놓였는지를 근거로 후보를 걸러낸 것이다.

도형을 돌리고 질문의 방향을 바꾼 적용

다음 문제에서는 삼각형 DEF를 종이에 반시계 방향으로 돌려 놓고, 조건의 순서도 EF=BC, ∠E=∠B, DE=AB처럼 바꾸었다. 질문은 “두 삼각형이 합동인지 쓰시오”가 아니라 “∠F와 같은 위치의 각을 고르고, 그 이유를 설명하시오”였다.

학생은 그림이 돌아가자 잠시 F와 C를 바로 연결하려 했지만, 이번에는 먼저 같은 변의 양 끝점을 확인했다. DE와 AB가 대응하고 EF와 BC가 대응하므로 DE의 끝점 D와 E는 A와 B에, EF의 끝점 E와 F는 B와 C에 이어진다고 적었다. 두 대응변이 만나는 E와 B가 서로 대응하므로 남은 꼭짓점은 D와 A라고 판단했다.

따라서 ∠F에 대응하는 각은 ∠C라고 답했다. 이어 “도형이 회전해도 대응관계는 변의 연결 상태로 정해야 하며, 두 대응변의 공통 꼭짓점을 먼저 찾으면 남은 점도 결정된다”고 설명했다. 숫자를 바꾼 문제가 아니라, 보기 없이 대응점을 찾아야 하는 상황에서 같은 SAS 판단을 사용한 것이다.

가려진 해설 없이 다시 세운 풀이

마지막 확인에서는 조건을 한 줄씩 가린 문제를 제시했다. 학생에게는 그림의 변 표시와 각 표시만 남겼고, 정답 보기나 풀이 순서는 보여 주지 않았다. 학생은 먼저 같은 표시가 있는 두 변을 찾고, 그 두 변이 만나는 꼭짓점을 각각 표시했다. 이어 표시된 두 각을 비교하여 어느 각이 두 변 사이에 있는지 확인했다.

학생은 “두 변만 같다고 바로 합동이라고 할 수 없고, 그 두 변 사이의 각까지 같아야 SAS이다. 이 그림에서는 AB와 BC가 ∠B에서 만나고, DE와 EF가 ∠E에서 만나므로 ∠B와 ∠E를 비교한다”고 말했다. 또 대응점이 A-D, B-E, C-F로 이어진다는 것을 변의 연결 순서로 다시 확인했다.

마지막으로 합동을 이용해 대응각을 묻자, 학생은 답만 쓰지 않고 “B와 E가 대응하고, AB와 DE 및 BC와 EF가 대응하므로 남은 A와 D, C와 F가 각각 대응한다”고 근거를 적었다.