백석지구 중3수학과외
백석지구 중3수학과외, 산점도의 흐름을 끝까지 읽는 연습
백석지구과외 수업에서 산점도를 다룰 때 학생들이 자주 놓치는 부분은 점 몇 개의 위치가 아니라 두 축이 나타내는 의미와 전체 점의 분포였습니다. 극동늘푸른아파트와 두정역마을이 있는 생활권에서 중학교 학습을 이어 가는 학생과 함께, 천안두정중학교가 포함된 생활권의 시험형 문제를 참고해 한 장의 산점도를 분석했습니다. 이번 범위는 산점도에서 양의 상관관계를 판단하고, 일부 예외가 있을 때 결론을 조심스럽게 정하는 데 한정했습니다.
한 점을 보고 전체를 결정한 순간
문제에는 다음과 같은 산점도가 제시되어 있었습니다.
가로축은 하루 복습 시간(분), 세로축은 단원평가 점수이다. 점들이 왼쪽 아래에서 오른쪽 위 방향으로 퍼져 있지만, 오른쪽 아래에 점 하나와 왼쪽 위에 점 하나가 있다. 이 자료에서 복습 시간과 점수의 관계를 설명하시오.
학생은 먼저 가로축에 ‘점수’, 세로축에 ‘복습 시간’이라고 적었습니다. 이어 오른쪽 아래에 있는 점을 동그라미 치며 “복습 시간이 긴데 점수가 낮으므로 음의 관계”라고 썼습니다. 전체 점을 이어 보았을 때는 오른쪽 위로 올라가는 모양이었지만, 학생은 눈에 띄는 예외 점 하나를 근거로 최종 답을 정했습니다.
풀이 기록을 다시 살펴보니 계산이나 표시의 문제가 아니었습니다. 축의 의미를 확인하지 않은 채, 일부 점의 모양만 보고 전체 관계를 단정한 것이 가장 먼저 어긋난 판단이었습니다. 산점도에서 양의 상관관계를 판단할 때는 점 하나가 아니라 두 축이 무엇을 뜻하는지 확인한 뒤, 점 전체가 어느 방향으로 퍼지는지를 읽어야 합니다.
바꾼 것은 첫 표시 하나였습니다
학생에게 모든 풀이를 지우게 하지 않고, 첫 줄의 축 표시만 다시 하게 했습니다. 가로축에는 ‘복습 시간’, 세로축에는 ‘점수’라고 적었습니다. 그다음 점들을 왼쪽에서 오른쪽으로 훑으며 분포의 중심 흐름을 확인했습니다.
- 복습 시간이 짧은 구간에는 낮은 점수가 비교적 많이 모여 있다.
- 복습 시간이 긴 구간으로 갈수록 높은 점수가 더 많이 나타난다.
- 오른쪽 아래와 왼쪽 위의 점은 전체 흐름과 다른 예외에 해당한다.
학생은 “예외가 있으므로 모든 점이 완벽하게 한 방향으로 놓였다고 말할 수는 없지만, 전체적으로는 오른쪽 위로 퍼지므로 양의 상관관계라고 판단한다”고 수정했습니다. 처음에 맞게 표시했던 점의 위치와 답안 형식은 유지하고, 축을 잘못 읽은 부분과 일부 점만으로 결론을 낸 부분만 바로잡았습니다.
표가 아니라 질문의 방향이 바뀐 새 장면
다음 문제에서는 산점도를 직접 그리지 않고, 네 구간별 점의 위치를 글과 표로 제시했습니다. 가로축은 ‘주간 운동 횟수’, 세로축은 ‘수업 중 집중 시간’이었습니다.
| 운동 횟수 구간 | 집중 시간이 긴 학생 수 | 집중 시간이 짧은 학생 수 |
|---|---|---|
| 0~1회 | 1 | 5 |
| 2~3회 | 3 | 3 |
| 4회 이상 | 5 | 1 |
이번에는 “집중 시간이 늘어날 때 운동 횟수가 증가하는가?”가 아니라 “운동 횟수가 많을수록 집중 시간이 긴 자료가 더 많이 나타나는가?”를 물었습니다. 학생은 질문의 방향에 끌려 축을 뒤집지 않고, 먼저 가로축과 세로축을 확인했습니다. 이후 왼쪽 구간에서는 낮은 위치의 자료가 많고 오른쪽 구간에서는 높은 위치의 자료가 많다는 점을 근거로 전체 관계가 양의 상관관계라고 설명했습니다. 중간 구간에 같은 수의 자료가 있어도 전체 흐름을 바꾸는 결정적 근거로 보지 않았습니다.
힌트 없이 다시 확인한 산점도
마지막에는 백석지구중3수학과외 수업에서 새 산점도를 제시하고 아무 표시도 하지 않은 채 답하게 했습니다. 세로축은 ‘물의 양’, 가로축은 ‘용기에 넣은 얼음 조각 수’였고, 점들은 대체로 왼쪽 아래에서 오른쪽 위로 퍼져 있었습니다. 다만 얼음 조각이 많은데 물의 양이 적은 점 두 개가 함께 표시되어 있었습니다. 질문은 “두 변수 사이에 양의 상관관계가 있다고 볼 수 있는가?”였습니다.
학생은 먼저 “가로축은 얼음 조각 수, 세로축은 물의 양”이라고 말한 뒤, 왼쪽에서 오른쪽으로 갈수록 점들의 중심이 위로 이동하는지 확인했습니다. 이어 “모든 점이 같은 직선 위에 있을 필요는 없고, 예외 점이 있어도 전체 분포가 오른쪽 위 방향이면 양의 상관관계로 판단할 수 있다”고 설명했습니다. 마지막으로 축을 바꾸어 읽었을 때에도 관계의 방향이 달라지는 것이 아니라 질문에 맞는 축의 의미를 먼저 확인해야 한다고 검산했습니다. 이번에는 특정 점이나 겉모양에 기대지 않고, 전체 점의 흐름과 예외의 위치를 함께 근거로 독립적으로 결론을 냈습니다.