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백석지구 중2수학과외

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백석지구 중2수학과외에서 다룬 외심의 경계

백석지구 생활권에는 극동늘푸른아파트와 두정역마을처럼 서로 다른 주거 공간이 함께 있고, 천안불당중학교가 포함된 생활권에서도 삼각형의 외심 문제는 자주 조건을 정확히 읽어야 하는 유형으로 이어진다. 이번 백석지구과외 수업에서는 학생이 계산보다 먼저 도형의 표시를 해석하는 과정에서 막혔다.

첫 식보다 먼저 어긋난 도형 판단

문제에는 삼각형 ABC와 점 O가 제시되어 있었고, O에서 세 꼭짓점까지의 선분이 그려져 있었다. 학생은 OA, OB, OC를 차례로 읽은 뒤 세 길이가 같다는 표시를 찾으려 했다. 한 변의 중점과 그 변에 수직인 선이 함께 주어진 부분에는 동그라미를 쳤고, 직각 표시 옆에는 ‘수직이등분선’이라고 적었다.

그런데 조건이 바뀐 추가 문항에서 AB와 CD가 서로 평행하고, 두 선분이 서로를 이등분한다는 표시가 사라졌는데도 학생은 이전 그림에서 보았던 평행사변형의 성질을 그대로 거꾸로 적용했다. “평행한 선이 보이면 마주 보는 변이 같고, 대각선이 서로 이등분될 것”이라고 판단한 것이 결과가 틀어지기 전 최초의 선택이었다. 아직 길이나 각을 계산하지 않았지만, 주어진 조건과 알고 있는 성질의 사용 방향을 바꿔 버린 순간이었다.

조건이 적혀 있지 않은 성질을 그림의 모양만 보고 역으로 사용할 수는 없다. 외심을 판단할 때는 먼저 ‘어떤 선이 어떤 변의 수직이등분선인가’를 확인한다.

수직이등분선과 각의 이등분선을 분리하다

교정은 풀이 전체를 다시 쓰는 방식이 아니었다. 학생이 이미 표시한 직각 기호와 선분의 중점 표시를 그대로 두고, 평행사변형이라고 적은 부분만 지웠다. AB의 중점을 M이라고 할 때 OM⊥AB이고 AM=MB인지 확인한 뒤, O가 AB의 수직이등분선 위에 있다는 문장으로 바꾸어 적었다.

이어 각 A의 양쪽에 같은 각 표시가 있을 때만 각의 이등분선이라고 따로 표시했다. 학생은 “수직이등분선은 변의 중점을 지나면서 변에 수직인 선이고, 각의 이등분선은 각을 두 부분으로 나누는 선”이라고 말하며 두 표시를 나란히 비교했다. 외심은 세 변의 수직이등분선이 만나는 점이므로, 선이 꼭짓점에서 출발한다는 이유만으로 각의 이등분선이라고 부르지 않도록 정리했다.

그 다음 원래 문제의 풀이로 돌아가 O가 AB의 수직이등분선 위에 있다는 사실에서 OA=OB를 확인했다. 같은 방식으로 다른 변의 수직이등분선 조건이 주어졌는지 살핀 뒤, 주어진 두 조건만으로 결론을 낼 수 있는 부분과 추가 조건이 필요한 부분을 나누었다. 이미 맞게 표시한 중점과 직각은 유지하고, 근거 없이 끌어온 평행사변형 성질만 제외했다.

그림이 아닌 조건의 위치를 바꾼 적용

변형 문제에서는 그림 대신 문장과 표가 제시되었다. “점 P는 선분 XY의 중점을 지나고 XY와 수직이다”라는 문장이 먼저 나오고, 다음 줄에는 “점 Q는 ∠X의 크기를 두 각으로 나눈다”라고 적혀 있었다. 학생은 P와 Q를 각각 선분과 각에 연결해 표에 기록했다. 숫자를 바꾼 문제가 아니라, 도형 표시를 문장으로 바꾸고 조건의 순서를 뒤집은 문제였다.

  • P에 대한 판단: XY의 중점과 수직 조건이 모두 있으므로 P가 놓인 선은 XY의 수직이등분선이다.
  • Q에 대한 판단: 두 각의 크기가 같다는 조건만 있으므로 Q와 연결된 선은 각의 이등분선이다.
  • 외심 판단: 한 변에 대한 수직이등분선 조건만으로는 세 수직이등분선의 교점을 바로 확정하지 않는다.

또 다른 문항에서는 삼각형의 세 변에 대한 선이 그래프처럼 표시되었지만, 한 선은 변의 중점을 지나지 않고 직각 표시만 있었다. 학생은 직각 표시만 보고 수직이등분선이라고 쓰려다가, 중점 표시가 있는지 먼저 확인했다. 중점이 없으면 그 선이 수직이등분선이라는 결론을 보류하고, 주어진 조건만으로 알 수 있는 사실을 따로 적었다.

힌트 없이 재현한 최종 검증

수업 끝의 새 문제에는 삼각형 DEF와 점 R이 있고, R에서 DE에 내린 선분이 DE와 수직이라는 조건, 그리고 그 발이 DE를 이등분한다는 조건이 문장으로 주어졌다. 학생은 별도의 질문 없이 두 조건에 각각 밑줄을 그은 뒤 “수직과 이등분이 함께 있으므로 R은 DE의 수직이등분선 위에 있다”고 첫 판단을 세웠다.

이후 ∠D의 두 부분이 같다는 표시가 없으므로 각의 이등분선이라고 부르지 않았고, 다른 변에도 같은 조건이 주어졌는지 확인한 다음에만 R을 외심으로 판단했다. 마지막으로 수직만 있고 중점이 없는 선을 일부러 골라 “이 선 하나만으로는 수직이등분선이라고 할 수 없다”고 설명했다. 풀이를 마친 뒤에는 각 조건 옆에 ‘직각’, ‘중점’, ‘각의 크기’를 다시 적어 근거를 역확인했다.

이 장면에서 백석지구중2수학과외의 핵심은 외심이라는 이름을 외우는 데 있지 않았다. 학생이 그림의 겉모양이나 익숙한 도형 성질을 먼저 믿지 않고, 주어진 변·각·점의 표시와 조건이 실제로 무엇을 보장하는지부터 확인하는 판단을 스스로 재현한 데 있었다.

백석지구 중2수학과외 학부모 후기

시험 범위가 나온 날 저녁, 책이랑 프린트를 정리하다가 아이가 수열 문제 옆에 숫자를 두 줄로 나눠 적어 둔 걸 보게 됐어요. 항 번호와 값이 따로 남아 있어서 무슨 뜻인가 싶어 살펴보니, 그냥 답만 적은 흔적은 아니더라고요. 백석지구 수학과외를 알아보던 중이었지만 그 장면은 수업과 별개로 집에서 우연히 발견한 모습이었어요. 전에는 해설지나 정답을 먼저 확인하고 나서 자기 풀이를 다시 들여다보는 일이 거의 없었거든요. 그런데 이번에는 번호와 값의 관계를 나란히 놓고, 두 항 사이가 얼마나 벌어지는지부터 확인하고 있었습니다. 답을 맞혔는지보다 계산한 과정을 먼저 보는 게 조금 낯설었어요. 며칠 지나 계산 문제를 풀 때도 비슷한 표시가 눈에 들어왔어요. 수열 단원 문제만 그런가 했는데, 이번에는 다음에 다시 펼쳐 볼 자리까지 옆쪽에 작게 남겨 두었더라고요. 책장을 넘기니 숫자 위치와 간격을 따라가며 적은 흔적이 그대로 보이더라고요.

★★★★★학부모 후기

친구와 공부하고 돌아온 저녁, 아이가 벡터 문제를 붙잡고 한참을 가만히 보더라고요. 바로 답을 찾는 대신 시작점과 끝점 좌표를 종이에 따로 옮겨 적고, 두 좌표의 차를 순서대로 계산해서 성분을 확인하고 있었습니다. 백석지구 수학과외 이야기를 나누던 중에도 이런 장면이 눈에 들어와서 잠깐 옆에서 지켜보게 됐어요. 전에는 풀이가 맞는지 판단한 근거를 자료에 남겨두지 않아 나중에 다시 보면 어디서 그렇게 생각했는지 찾기 어려웠거든요. 그런데 학교 수행평가 준비를 다시 펼친 날에는 벡터 성분을 구할 때 좌표부터 적어 두고, 이어서 살펴볼 부분까지 정해 놓았습니다. 같은 단원을 다시 만났을 때도 계산 순서가 종이에 그대로 남아 있더라고요.

★★★★★학부모 후기

백석지구에서 수학 과외를 시작한 뒤 아이가 문제를 풀고도 답을 몇 번씩 확인하던 모습이 조금씩 달라졌습니다. 지난주 수업을 옆에서 보니 틀린 문제를 표시해 두었다가 선생님께 먼저 보여 주었고, 선생님은 시험이 다가오자 새 진도보다 부족한 부분을 다시 살피며 스스로 풀 시간을 충분히 주셨습니다. 틀린 뒤에도 금방 다시 집중하는 모습이 고마웠습니다.

★★★★★학부모 후기

숙제 검사를 받을 때마다 선생님이 틀린 문제만 지적하지 않고, 맞힌 문제도 어떻게 풀었는지 편하게 물어봐 주셔서 대화하듯 설명할 수 있었습니다. 백석지구에서 수업을 시작할 무렵에는 계산이 조금만 복잡해도 겁이 났지만, 시험 전에는 새 진도보다 부족한 부분을 다시 확인하며 이해할 때까지 속도를 맞춰 주셨습니다. 요즘은 틀려도 오래 속상해하지 않고 다시 풀어보려 합니다.

★★★★☆학부모 후기

수업을 마친 뒤 아이가 오늘 배운 내용과 막혔던 문제를 먼저 이야기하는 모습도 조금씩 생겼습니다. 백석지구에서 과외를 시작할 때만 해도 어려운 문제를 붙잡고 조용히 오래 고민했는데, 선생님은 답을 바로 알려주기보다 생각을 정리할 기준을 주고 할 일을 나눠 주셨습니다. 숙제 양이 많아 보여도 이제는 계획을 세워 하나씩 해내려는 태도가 보여 한결 안심이 됐습니다.

★★★★☆학부모 후기