백석지구 중2수학과외

백석지구 중2수학과외에서 다룬 외심의 경계

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첫 식보다 먼저 어긋난 도형 판단

문제에는 삼각형 ABC와 점 O가 제시되어 있었고, O에서 세 꼭짓점까지의 선분이 그려져 있었다. 학생은 OA, OB, OC를 차례로 읽은 뒤 세 길이가 같다는 표시를 찾으려 했다. 한 변의 중점과 그 변에 수직인 선이 함께 주어진 부분에는 동그라미를 쳤고, 직각 표시 옆에는 ‘수직이등분선’이라고 적었다.

그런데 조건이 바뀐 추가 문항에서 AB와 CD가 서로 평행하고, 두 선분이 서로를 이등분한다는 표시가 사라졌는데도 학생은 이전 그림에서 보았던 평행사변형의 성질을 그대로 거꾸로 적용했다. “평행한 선이 보이면 마주 보는 변이 같고, 대각선이 서로 이등분될 것”이라고 판단한 것이 결과가 틀어지기 전 최초의 선택이었다. 아직 길이나 각을 계산하지 않았지만, 주어진 조건과 알고 있는 성질의 사용 방향을 바꿔 버린 순간이었다.

조건이 적혀 있지 않은 성질을 그림의 모양만 보고 역으로 사용할 수는 없다. 외심을 판단할 때는 먼저 ‘어떤 선이 어떤 변의 수직이등분선인가’를 확인한다.

수직이등분선과 각의 이등분선을 분리하다

교정은 풀이 전체를 다시 쓰는 방식이 아니었다. 학생이 이미 표시한 직각 기호와 선분의 중점 표시를 그대로 두고, 평행사변형이라고 적은 부분만 지웠다. AB의 중점을 M이라고 할 때 OM⊥AB이고 AM=MB인지 확인한 뒤, O가 AB의 수직이등분선 위에 있다는 문장으로 바꾸어 적었다.

이어 각 A의 양쪽에 같은 각 표시가 있을 때만 각의 이등분선이라고 따로 표시했다. 학생은 “수직이등분선은 변의 중점을 지나면서 변에 수직인 선이고, 각의 이등분선은 각을 두 부분으로 나누는 선”이라고 말하며 두 표시를 나란히 비교했다. 외심은 세 변의 수직이등분선이 만나는 점이므로, 선이 꼭짓점에서 출발한다는 이유만으로 각의 이등분선이라고 부르지 않도록 정리했다.

그 다음 원래 문제의 풀이로 돌아가 O가 AB의 수직이등분선 위에 있다는 사실에서 OA=OB를 확인했다. 같은 방식으로 다른 변의 수직이등분선 조건이 주어졌는지 살핀 뒤, 주어진 두 조건만으로 결론을 낼 수 있는 부분과 추가 조건이 필요한 부분을 나누었다. 이미 맞게 표시한 중점과 직각은 유지하고, 근거 없이 끌어온 평행사변형 성질만 제외했다.

그림이 아닌 조건의 위치를 바꾼 적용

변형 문제에서는 그림 대신 문장과 표가 제시되었다. “점 P는 선분 XY의 중점을 지나고 XY와 수직이다”라는 문장이 먼저 나오고, 다음 줄에는 “점 Q는 ∠X의 크기를 두 각으로 나눈다”라고 적혀 있었다. 학생은 P와 Q를 각각 선분과 각에 연결해 표에 기록했다. 숫자를 바꾼 문제가 아니라, 도형 표시를 문장으로 바꾸고 조건의 순서를 뒤집은 문제였다.

• P에 대한 판단: XY의 중점과 수직 조건이 모두 있으므로 P가 놓인 선은 XY의 수직이등분선이다.
• Q에 대한 판단: 두 각의 크기가 같다는 조건만 있으므로 Q와 연결된 선은 각의 이등분선이다.
• 외심 판단: 한 변에 대한 수직이등분선 조건만으로는 세 수직이등분선의 교점을 바로 확정하지 않는다.

또 다른 문항에서는 삼각형의 세 변에 대한 선이 그래프처럼 표시되었지만, 한 선은 변의 중점을 지나지 않고 직각 표시만 있었다. 학생은 직각 표시만 보고 수직이등분선이라고 쓰려다가, 중점 표시가 있는지 먼저 확인했다. 중점이 없으면 그 선이 수직이등분선이라는 결론을 보류하고, 주어진 조건만으로 알 수 있는 사실을 따로 적었다.

힌트 없이 재현한 최종 검증

수업 끝의 새 문제에는 삼각형 DEF와 점 R이 있고, R에서 DE에 내린 선분이 DE와 수직이라는 조건, 그리고 그 발이 DE를 이등분한다는 조건이 문장으로 주어졌다. 학생은 별도의 질문 없이 두 조건에 각각 밑줄을 그은 뒤 “수직과 이등분이 함께 있으므로 R은 DE의 수직이등분선 위에 있다”고 첫 판단을 세웠다.

이후 ∠D의 두 부분이 같다는 표시가 없으므로 각의 이등분선이라고 부르지 않았고, 다른 변에도 같은 조건이 주어졌는지 확인한 다음에만 R을 외심으로 판단했다. 마지막으로 수직만 있고 중점이 없는 선을 일부러 골라 “이 선 하나만으로는 수직이등분선이라고 할 수 없다”고 설명했다. 풀이를 마친 뒤에는 각 조건 옆에 ‘직각’, ‘중점’, ‘각의 크기’를 다시 적어 근거를 역확인했다.

학생이 그림의 겉모양이나 익숙한 도형 성질을 먼저 믿지 않고, 주어진 변·각·점의 표시와 조건이 실제로 무엇을 보장하는지부터 확인하는 판단을 스스로 재현한 데 있었다.