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만덕동 고2수학과외

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끊기지 않는 그래프가 미분 가능한 것은 아니다

다음 날 학생은 f(x)=2|x-1|+3의 그래프가 끊기지 않는다는 점을 근거로 미분 가능하다고 판단했다. 그러나 이 문제의 핵심은 연속성과 미분가능성을 따로 확인하는 데 있다.

최종 검증에서 발견된 판단 오류

x=1에서 함수값은 f(1)=3이고, x가 1에 가까워질 때의 좌극한과 우극한도 모두 3이다. 따라서 함수는 x=1에서 연속이다.

하지만 꼭짓점 좌우의 기울기는 서로 다르다.

왼쪽에서는 f(x)=-2(x-1)+3이므로 좌미분계수는 -2이고,
오른쪽에서는 f(x)=2(x-1)+3이므로 우미분계수는 2이다.

좌미분계수와 우미분계수가 다르므로 x=1에서 미분 가능하지 않다.

절댓값 계수로 좌우 기울기 비교하기

일반적으로 f(x)=c|x-a|+d를 살펴보자.

x<a에서는 f(x)=-c(x-a)+d이므로 기울기는 -c,
x>a에서는 f(x)=c(x-a)+d이므로 기울기는 c이다.

따라서 c≠0이면 좌우미분계수가 다르므로 x=a에서 미분 불가능하다. 반대로 c=0이면 함수는 상수함수가 되어 미분 가능하다. 이 함수는 모든 실수에서 연속이지만, c≠0일 때 x=a에서만 미분 가능하지 않다.

연속성과 미분가능성의 구별

  • 연속성: 그래프가 끊어지지 않고 함수값과 극한값이 일치하는가
  • 미분가능성: 한 점에서 좌우 기울기가 같은가

만덕동과외 수업에서는 그래프가 이어지는지 확인한 뒤, 반드시 좌미분계수와 우미분계수를 별도로 계산하도록 풀이 기록을 교정했다.

교정된 풀이

처음 판단: “그래프가 끊기지 않으므로 미분 가능하다.”

교정된 판단: “x=1에서 연속이지만 좌미분계수 -2와 우미분계수 2가 다르므로 미분 가능하지 않다.”

절댓값 그래프의 꼭짓점에서는 연속 여부만으로 결론을 내리지 말고, 좌우 기울기를 비교해야 한다.

공식을 쓸 수 있는 조건도 기억하나요?

고2 학습에서 공식의 모양만 기억하면 적용할 수 없는 상황에 사용할 수 있습니다. 공식 옆에 필요한 조건을 함께 적고, 조건 하나가 빠진 문제에서도 쓸 수 있는지 생각해 보세요. 새로운 공식을 더 외우기 전에 사용 범위가 분명한지 점검하는 연습입니다.

수강 과목의 이름과 교재 범위를 확인하기

고2라고 모두 같은 과목과 단원을 같은 순서로 배우는 것은 아닙니다. 상담에는 실제 수강 과목명과 사용하는 교재의 목차를 준비해 보세요. 학년만으로 학습 범위를 추정하지 않고 지금 배우는 내용부터 맞추는 데 도움이 됩니다.

현재 학습에서 함께 살펴볼 범위

고등 수학

현재 수강 과목과 시험 범위를 먼저 확인하고 개념, 식의 변형, 함수와 그래프, 문제 조건의 해석을 연결합니다. 선택 과목은 실제 이수 범위에 맞춰 준비하며 내신 답안과 모의고사 풀이 시간은 구분해 점검합니다.

고2 점검 기준

실제 수강하는 선택 과목과 학교 평가 범위를 확인합니다. 모든 학생에게 같은 선택 과목의 내용을 적용하지 않습니다.

수업 진행 예시

선택 과목: 변화율의 의미

미분을 배우는 과목을 수강한다면 f(x) = x³에서 f′(x) = 3x²를 구하고 x = 1에서의 순간변화율이 3임을 확인합니다. 계산 규칙을 적용하는 것과 그래프에서 변화율을 해석하는 것을 구분합니다.

선택 과목: 확률의 조건

확률을 배우는 과목을 수강한다면 공정한 주사위에서 짝수가 나올 확률을 3/6 = 1/2로 구합니다. 가능한 결과가 같은 가능성을 갖는다는 조건을 확인한 뒤 전체 경우와 해당 경우를 구분합니다.

위 내용은 지도 범위와 연습 방법을 설명하는 예시입니다. 학생이 이미 배운 내용과 현재 진도에 맞춰 적용하며, 모든 내용을 한 수업에서 진행하지 않습니다.

수업 진행 안내

상담 → 선생님 연결 → 첫 수업 → 정규 수업

학생의 학습 상황을 상담하고, 선생님과 수업 방식이 맞는지 확인한 뒤 시간·횟수·비용을 정합니다. 숙제 확인과 보호자 피드백은 학생별로 조율하며, 보강과 일정·선생님 변경이 가능합니다.

고등 과외 수업료

월 수업료 · 주 2회 기준
학교급방문 수업화상 수업
고등33~50만 원30~46만 원

회당 수업 시간에 따라 금액이 달라집니다. 주당 횟수와 회당 시간, 최종 월 수업료는 상담에서 정합니다.

주 1회부터 주 3회 이상까지 횟수를 조율할 수 있습니다. 같은 회당 시간으로 주 1회 진행할 경우, 위 주 2회 금액의 절반이 기준입니다.

학년별 개념과 연습 함께 보기

이 지역의 학습 예시와 함께 현재 학년의 공부 방법을 살펴보세요.

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만덕동 고2수학과외 수업 후기

문제집을 펼쳐 보니 여백 여기저기에 낙서처럼 표시한 게 아니라, 계산이 틀어지기 시작한 지점만 조그맣게 남겨 두었더라고요. 모의고사 성적표를 받아온 날 잠깐 방을 들여다보다가 발견했는데, 답을 틀렸다는 표시와는 조금 달라서 눈에 띄었어요. 만덕동 수학과외를 알아보던 때와는 별개로 아이가 문제를 보는 방식이 달라진 게 느껴졌습니다. 전에는 공부가 끝나면 지나간 부분을 다시 꺼내 확인하는 일이 거의 없었거든요. 어디서부터 계산이 어긋났는지 따로 짚어 둔 흔적을 보니 그냥 답만 맞춰 본 건 아니었어요. 시험 전 복습하던 날에도 같은 식으로 계산 실수가 시작된 곳만 골라 표시해 두었어요. 다시 봐야 할 부분이 다른 메모와 섞이지 않게 남겨 둔 모양이었고, 문제집을 펼쳤을 때 표시가 먼저 보였습니다.

★★★★☆수업 후기

교과서 복습을 하던 밤, 아이가 확률 문제 옆에 작은 표를 그려 놓고 가능한 경우들을 하나씩 나누고 있더라고요. 겹친다고 생각한 경우에는 줄을 그어 지운 흔적도 보였어요. 예전에는 답이 틀리면 어디서 잘못됐는지 찾기보다 처음부터 전부 다시 풀곤 했거든요. 이번에는 이미 적어 둔 표를 그대로 살펴보면서 중복된 부분만 골라 정리했습니다. 주말 늦은 오후에 만덕동 수학과외 자료를 챙길 때도 비슷한 장면을 봤어요. 확률 문제를 붙잡고 막연히 다시 시작하지 않고, 가능한 경우를 작은 칸으로 나눠 직접 확인하더라고요. 지웠던 부분과 다시 본 위치가 남아 있어서 어떤 과정을 거쳤는지도 한눈에 보였습니다. 마지막까지 답만 확인하지 않고 표 안에서 겹치는 경우를 찾아낸 점이 전과 달랐어요.

★★★★★수업 후기

선생님께서는 완벽하게 하려다 막히는 아이의 성향을 살피며 부담을 덜어 주고, 질문도 편하게 이어 가도록 대화해 주셨습니다. 수행평가가 겹쳐 숙제가 평소보다 많이 남은 날에도 아이는 만덕동 수업을 마친 뒤 먼저 할 수 있는 문제부터 차분히 풀어 나갔습니다. 요즘은 답이 틀려도 바로 포기하지 않고 한 번 더 확인하는 모습이 보여 반갑습니다.

★★★★★수업 후기

만덕동에서 수학과외를 시작한 뒤 아이가 두 번째 수업을 기다린다고 말해 조금 놀랐습니다. 낯을 가려 풀이를 설명하지 않던 아이에게 선생님은 답을 서두르지 않고 어디까지 이해했는지 차분히 물어보며, 수업 뒤 복습할 부분도 함께 확인해 주셨습니다. 요즘은 모르는 문제를 그냥 넘기지 않고 한 번 더 물어보는 모습이 보여 공부를 대하는 마음이 한결 편해진 듯합니다.

★★★★★수업 후기

수업이 끝난 뒤 아이가 만덕동 수학 과외에서 배운 내용을 스스로 다시 펼쳐 보는 모습이 전과 달라졌습니다. 숙제를 거의 마치고 한 문제만 남았을 때도 선생님은 답을 바로 알려주기보다 생각이 달라진 지점을 함께 찾아 주셔서 부담 없이 마무리하게 했습니다. 요즘은 수업 중 궁금했던 내용을 먼저 이야기하는 날이 조금씩 늘고 있습니다.

★★★★★수업 후기

학생별 1:1 수업 안내

수업은 학생별 1:1로 진행하며, 현재 학습 상태와 목표에 따라 수업 내용을 달리합니다.