만덕동 고1수학과외
만덕동 고1수학과외: 조건이 있는 배열에서 허용 범위 읽기
만덕동의 한 고1 학생은 조건이 붙은 배열 문제에서 계산부터 시작했지만, 문자를 치환하는 순서를 반대로 읽으면서 가능한 경우 하나를 빠뜨렸다. 답의 형태는 그럴듯했으나 조건이 허용하는 범위를 모두 포함하지 못한 것이 최초 오류였다.
후보를 계산하기 전에 화살표로 연결하다
풀이를 다시 시작할 때 계산칸을 바로 열지 않고, 각 문자가 어떤 값으로 바뀌는지 화살표로 표시했다. 이어 후보 해를 두 칸으로 나누어 정리하고, 각 후보가 조건을 만족하는지 말로 설명하게 했다. 이 과정을 통해 치환의 방향과 배열의 순서를 한눈에 구분할 수 있었다.
문자를 바꿔 읽은 것이 아니라, 주어진 순서대로 대응시켰는가?
이 질문을 풀이 옆에 적자 누락된 경우가 드러났다. 조건을 만족하는 후보와 조건 밖의 후보를 분리하면서, 답을 하나의 수로 단정하지 않고 허용되는 범위로 표현해야 한다는 점도 함께 확인했다.
식이 아닌 표로 바뀐 문제에 적용하기
다음 문제에서는 같은 조건을 식으로 주지 않고 표의 행과 열에 나누어 제시했다. 학생은 먼저 표의 항목을 배열의 위치와 연결한 뒤, 각 위치에서 가능한 값만 남겼다. 단순히 숫자를 바꿔 계산한 것이 아니라, 표현 방식이 달라져도 순서와 허용 조건을 먼저 확인하는 방식으로 풀이를 옮겼다.
- 행과 열의 위치를 배열의 순서와 대응시킨다.
- 각 위치에서 허용되는 값만 후보로 남긴다.
- 후보를 답으로 옮기기 전에 조건 밖의 경우를 구분한다.
조건 순서를 섞어 만든 반례
마지막에는 조건의 제시 순서를 일부러 바꾼 배열을 주고, 기존 답이 그대로 유지되는지 확인했다. 학생은 특정 후보 하나를 다시 계산하는 대신, 조건을 어긴 배열을 직접 만들어 보았다. 그 반례가 성립하자 처음 답이 모든 경우를 포함한다는 보장이 없음을 스스로 설명했고, 허용 범위와 조건의 연결을 끝까지 확인하며 풀이를 마무리했다.
부산광역시립구포도서관 인근 생활권에서 진행한 학습에서도 장소보다 중요한 변화는 계산 속도가 아니라 조건을 읽는 순서였다. 이제 학생은 배열 문제를 보면 가능한 값의 범위를 먼저 구분하고, 표현이 바뀌어도 빠진 경우가 없는지 반례로 점검한다.