덕진동 고2수학과외







서술형 답안에서 드러난 역함수의 순서 오류
시간 제한이 끝난 뒤 학생의 답안에는 \(y=a^x\)에서 양변에 곧바로 로그를 취한 흔적이 남아 있었다. 원래 식의 \(x\)를 \(y\)로 바꾸지 않았기 때문에 역함수가 아니라 지수함수의 식을 다시 변형한 셈이다.
학생 풀이 기록
\(y=2^x\)에서 양변에 밑이 2인 로그를 취하면 \(\log_2 y=x\)라고 썼다. 이 식은 원래 함수에서 \(x\)를 \(y\)에 관해 나타낸 관계이지, 역함수의 식 \(y=f^{-1}(x)\)로 정리된 결과는 아니다.
좌표 교환이 먼저인 이유
역함수는 원래 그래프의 각 점 \((x,y)\)를 \((y,x)\)로 바꾼 그래프다. 따라서 \(y=2^x\)에서 먼저 \(x\)와 \(y\)를 교환하면
\[ x=2^y \]
가 된다. 이제 양변에 \(\log_2\)를 취하면
\[ \log_2 x=y \]
이므로 역함수는 \(\boxed{f^{-1}(x)=\log_2 x}\)이다. 원래 함수의 치역이 양수이므로 역함수의 정의역도 \(x>0\)이다.
이동된 지수함수의 역변환
같은 절차를 이동된 함수에 적용해 보자.
한 식에서 시작하는 변환
\[ f(x)=3^{x-2}+1 \]
에서 \(x\)와 \(y\)를 교환하면
\[ x=3^{y-2}+1 \]
이다. 양변에서 1을 빼고 로그를 취하면
\[ x-1=3^{y-2},\qquad \log_3(x-1)=y-2 \]
따라서
\[ \boxed{f^{-1}(x)=\log_3(x-1)+2} \]
가 된다. \(x-1>0\)이어야 하므로 역함수의 정의역은 \(x>1\)이다.
교정 뒤 최종 확인
두 풀이 비교
| 구분 | 변환 과정 | 판정 |
|---|---|---|
| 잘못된 풀이 | \(y=3^{x-2}+1\)에서 바로 로그를 취함 | 역함수의 좌표 교환이 빠짐 |
| 교정된 풀이 | \(x=3^{y-2}+1\)로 바꾼 뒤 로그를 취함 | 역함수식과 정의역이 정확함 |
합성으로 검증하기
\[ f^{-1}(f(x)) =\log_3\bigl((3^{x-2}+1)-1\bigr)+2 =\log_3(3^{x-2})+2=x \]
또한 \(f(f^{-1}(x))=x\)는 \(x>1\)에서 성립한다. 따라서 좌표 교환 후 로그 변환이라는 순서를 지킨 풀이가 옳다. 덕진동과외에서 이 유형을 연습할 때도 계산보다 먼저 정의역과 좌표 교환 여부를 확인하면 서술형 실수를 줄일 수 있다.
문제의 긴 조건을 정리하는 연습
조건을 모두 기호로 바꾸려다 정작 관계를 놓칠 수 있습니다. 주어진 대상, 대상 사이의 관계, 구해야 할 것을 나누어 한 줄씩 적어 보세요. 조건이 많은 고2 문제에서는 정보를 줄이는 것보다 어떤 조건을 어느 단계에서 쓸지 구분하는 연습이 필요합니다.
반례를 제시해야 하는 문제를 만났다면
어떤 주장이 항상 성립하지 않음을 보일 때는 주어진 조건을 만족하면서 결론은 성립하지 않는 예가 필요합니다. 단순히 다른 숫자를 적는 것으로 끝내지 말고 두 부분을 따로 확인해 보세요. 현재 단원에서 반례의 역할을 배우고 있다면 이 기준으로 자신의 설명을 점검할 수 있습니다.
현재 학습에서 함께 살펴볼 범위
고등 수학
현재 수강 과목과 시험 범위를 먼저 확인하고 개념, 식의 변형, 함수와 그래프, 문제 조건의 해석을 연결합니다. 선택 과목은 실제 이수 범위에 맞춰 준비하며 내신 답안과 모의고사 풀이 시간은 구분해 점검합니다.
고2 점검 기준
실제 수강하는 선택 과목과 학교 평가 범위를 확인합니다. 모든 학생에게 같은 선택 과목의 내용을 적용하지 않습니다.
수업 진행 예시
선택 과목: 변화율의 의미
미분을 배우는 과목을 수강한다면 f(x) = x³에서 f′(x) = 3x²를 구하고 x = 1에서의 순간변화율이 3임을 확인합니다. 계산 규칙을 적용하는 것과 그래프에서 변화율을 해석하는 것을 구분합니다.
선택 과목: 확률의 조건
확률을 배우는 과목을 수강한다면 공정한 주사위에서 짝수가 나올 확률을 3/6 = 1/2로 구합니다. 가능한 결과가 같은 가능성을 갖는다는 조건을 확인한 뒤 전체 경우와 해당 경우를 구분합니다.
위 내용은 지도 범위와 연습 방법을 설명하는 예시입니다. 학생이 이미 배운 내용과 현재 진도에 맞춰 적용하며, 모든 내용을 한 수업에서 진행하지 않습니다.
수업 진행 안내
상담 → 선생님 연결 → 첫 수업 → 정규 수업
학생의 학습 상황을 상담하고, 선생님과 수업 방식이 맞는지 확인한 뒤 시간·횟수·비용을 정합니다. 숙제 확인과 보호자 피드백은 학생별로 조율하며, 보강과 일정·선생님 변경이 가능합니다.
고등 과외 수업료
| 학교급 | 방문 수업 | 화상 수업 |
|---|---|---|
| 고등 | 33~50만 원 | 30~46만 원 |
회당 수업 시간에 따라 금액이 달라집니다. 주당 횟수와 회당 시간, 최종 월 수업료는 상담에서 정합니다.
주 1회부터 주 3회 이상까지 횟수를 조율할 수 있습니다. 같은 회당 시간으로 주 1회 진행할 경우, 위 주 2회 금액의 절반이 기준입니다.
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