덕진동 고등수학과외
덕진동 고등수학과외에서는 삼각방정식을 풀고도 마지막 답을 틀리는 장면을 자주 세밀하게 살핀다. 전주솔내고등학교와 양현고등학교 학생의 풀이를 지도할 때도 식을 변형하는 과정뿐 아니라, 주어진 구간에 해를 남기는 마지막 판단까지 확인한다. 신영통현대타운1단지와 반달마을 생활권에서 수업하는 학생에게는 답의 개수보다 각 해가 조건을 실제로 만족하는지 기록하게 한다.
주기 4π에서 시작되는 작은 누락
한 학생에게 다음과 같은 문제를 제시했다.
0≤x≤4π에서 cos x=1/2를 만족하는 x를 모두 구하여라.
학생은 먼저 일반해를 정확히 적었다. cos x=1/2이므로 x=2nπ±π/3이라고 정리했고, 중간결론까지는 문제가 없었다. 이어 n=0, 1, 2를 대입해 π/3, 5π/3, 7π/3, 11π/3을 적었다. 여기서 풀이가 멈췄다면 네 해만 남겨야 하지만, 학생은 일반해에 등장한 항을 모두 답으로 옮기면서 -π/3과 13π/3까지 함께 적었다.
첫 오류는 일반해를 세우는 순간이 아니었다. 주기 4π 안에 들어오는지 확인하지 않고 항을 옮긴 바로 그 단계였다. 특히 13π/3은 4π보다 크고, -π/3은 0보다 작다. 식을 만족하는 수라는 사실과 주어진 구간의 해라는 조건을 한 줄에서 섞어 버린 것이다.
해를 버리지 말고 항 번호를 붙여 남긴다
교정할 때는 답을 한꺼번에 지우게 하지 않았다. 먼저 두 갈래의 일반해를 항 번호와 함께 적었다.
- 첫 번째 갈래: x=2nπ+π/3
- 두 번째 갈래: x=2nπ-π/3
그다음 각 갈래에서 주어진 구간을 만족하는 n만 따로 찾았다. 첫 번째 갈래는 n=0일 때 π/3, n=1일 때 7π/3이 된다. n=-1이면 -5π/3이므로 제외하고, n=2이면 13π/3이 되어 상한을 넘는다. 두 번째 갈래에서는 n=1일 때 5π/3, n=2일 때 11π/3이 남는다. n=0의 -π/3은 하한보다 작다.
학생은 풀이 옆에 ‘1번 갈래: n=0,1’, ‘2번 갈래: n=1,2’라고 메모했다. 항 번호를 붙이자 같은 숫자가 다른 갈래에서 빠지는 상황도 줄었고, 주기 4π라는 조건을 계산 마지막에 다시 볼 수 있었다. 최종 답은 π/3, 5π/3, 7π/3, 11π/3이다.
조건 하나를 없애 새 문제로 혼자 점검하기
다음 문제에서는 주기만 바꾸지 않고 조건을 하나 삭제했다.
cos x=1/2의 해 중 0≤x≤4π라는 구간 조건을 제외하고, 0 이상인 해를 모두 설명하여라.
학생은 이전 답을 그대로 복사하지 않고 두 일반해를 다시 썼다. 0 이상이라는 조건만 남았으므로 첫 번째 갈래에서는 n≥0, 두 번째 갈래에서는 n≥1이 된다. 따라서 π/3, 7π/3, 13π/3, 19π/3,…와 5π/3, 11π/3, 17π/3,…처럼 해가 끝없이 이어진다는 점을 설명했다. 구간이 사라지면 네 개만 고르는 절차도 사라진다는 사실을 조건별로 구분한 것이다.
구간 밖 해를 반례로 넣어 보는 검산
마지막에는 일부러 13π/3을 답에 포함시켜 검토했다. cos(13π/3)=cos(4π+π/3)=cos(π/3)=1/2이므로 방정식 자체는 만족한다. 그러나 13π/3>4π이므로 원래 문제의 해는 아니다. 반대로 -π/3도 삼각함숫값은 1/2이지만 0≤x 조건을 위반한다.
이 반례 검산은 ‘식을 만족하는가’와 ‘문제의 범위 안에 있는가’를 분리해 확인하게 한다. 학생은 최종 답의 각 항 옆에 삼각함수 확인과 구간 확인을 나누어 표시했고, 주기 4π를 한 바퀴의 반복성으로만 보지 않고 해를 잘라내는 범위로 활용했다.
자주 묻는 질문
주기 4π이면 해를 네 개만 찾으면 되나요?
항상 그렇지는 않다. 함수의 기본 주기와 문제에서 제시한 구간의 길이, 방정식의 해 위치를 함께 확인해야 한다.
일반해를 구했는데 왜 다시 n을 조사하나요?
일반해는 모든 반복 해를 나타내므로, 구간 조건에 맞는 정수 n을 골라야 실제 답이 정해진다.
구간 끝점은 포함해서 확인하나요?
≤ 또는 ≥가 있으면 포함한다. <, >라면 끝점은 제외한다.
구간 밖의 해도 식을 만족하면 답으로 쓸 수 있나요?
방정식의 해이기는 하지만 해당 문항의 해는 아니다. 식의 성립 여부와 조건 충족 여부를 각각 검사해야 한다.
항 번호 메모는 꼭 필요한가요?
두 일반해의 항을 섞거나 같은 해를 빠뜨리는 실수를 줄이는 데 유용하다. 특히 넓은 구간에서 효과적이다.