덕진동 중3수학과외

덕진동 중3수학, 식과 그래프를 직접 연결해 읽기

덕진동과외 수업에서 이차함수의 그래프 방향을 묻는 문제를 다룰 때, 학생이 식을 보고 바로 “위로 열린다” 또는 “아래로 열린다”고 말하는지만 확인하지 않습니다.

식 두 개를 나란히 놓았을 때 생긴 혼동

다음 두 함수가 제시되었습니다.

① y=2x²　　② y=-2x²

학생은 공책에 각각 x=1을 넣어 다음처럼 적었습니다.

• ① y=2×1²=2이므로 점 (1, 2)
• ② y=-2×1²=-2이므로 점 (1, -2)

여기까지 계산은 맞았습니다. 그런데 그래프 방향을 묻자 “둘 다 x²이 있으므로 위로 열린다”고 답했습니다. 이어서 두 식을 나란히 놓고도 공통으로 보이는 x²만 표시하고, 앞의 계수 2와 -2는 계산 결과에만 영향을 주는 숫자로 처리했습니다.

틀어진 최초의 판단은 계산 실수가 아니었습니다. 그래프 모양을 먼저 떠올린 뒤, y값을 만드는 계수의 부호를 방향 판단에서 제외한 것이 문제였습니다. y=ax²에서 a가 양수이면 x가 0이 아닐 때 y가 양수가 되고, a가 음수이면 같은 x에서 y가 음수가 됩니다. 이 관계를 식과 그래프에 직접 대응해야 합니다.

그래프의 위·아래를 식의 값으로 확인하기

학생이 이미 구한 두 좌표는 그대로 사용했습니다. x=1일 때 ①의 점 (1, 2)는 x축 위에 있고, ②의 점 (1, -2)는 x축 아래에 있습니다. 따라서 ①의 그래프는 원점에서 오른쪽으로 갈수록 위쪽에 놓이는 방향이고, ②의 그래프는 오른쪽으로 갈수록 아래쪽에 놓이는 방향입니다.

이번에 고친 행동은 하나입니다. 그래프 모양을 기억으로 단정하지 않고, x=1 같은 같은 입력을 식에 대입해 나온 y값의 부호를 그래프의 위치와 대응시키기입니다. “2는 양수이므로 위쪽, -2는 음수이므로 아래쪽”이라고 말하게 하자, 식의 부호와 그래프 방향이 하나의 판단으로 이어졌습니다.

이때 다른 성질을 덧붙이지 않았습니다. 두 그래프의 교점이나 넓이, 최댓값을 구하는 문제가 아니라 y=ax²에서 계수의 부호가 그래프의 방향을 어떻게 나타내는지만 확인했습니다.

표와 말로 바뀐 문제에 적용하기

며칠 뒤에는 식을 바로 보여 주지 않고 표를 제시했습니다.

x	-2	-1	0	1	2
y	-12	-3	0	-3	-12

문제는 “이 표가 나타내는 y=ax²의 그래프 방향을 말하라”였습니다. 이번에는 먼저 x=1일 때 y=-3이라는 대응을 표시했습니다. x=2에서도 y=-12로 음수가 되므로, 0이 아닌 x에서 그래프의 점들이 x축 아래에 놓인다고 설명했습니다. 따라서 그래프는 아래로 열린다고 판단했습니다.

이번 표는 앞의 식 배열을 그대로 바꾼 문제가 아닙니다. 식 대신 여러 입력값에 대한 출력값을 보고, 공통으로 나타나는 부호와 위치를 찾아야 했습니다. 학생은 “x가 음수여도 y가 음수이고, x가 양수여도 y가 음수이므로 방향 판단에 중요한 것은 x의 부호가 아니라 y의 위치”라고 풀이 이유를 적었습니다.

힌트 없이 다시 세운 기준

마지막에는 다음 설명만 주고 식, 표, 그래프를 함께 제시하지 않았습니다.

어떤 함수는 x=1에서 y=5, x=-1에서 y=5가 되고, 다른 함수는 x=1에서 y=-5, x=-1에서 y=-5가 된다. 두 함수의 그래프 방향을 각각 설명하라.

학생은 첫 번째 경우를 “0이 아닌 x에서 y가 양수이므로 그래프가 x축 위쪽으로 열린다”고 했고, 두 번째 경우를 “같은 방식으로 y가 음수이므로 아래쪽으로 열린다”고 설명했습니다. 이어 첫 번째 함수에 x=1을 넣어 실제로 y=5가 되는지, 두 번째 함수에 x=-1을 넣어 y=-5가 되는지 다시 확인했습니다.

힌트 없이도 입력값을 하나 선택하고, 함수값의 부호를 그래프의 위·아래 위치와 연결한 뒤 대입으로 검산했습니다. 이처럼 표현이 식에서 표나 말로 달라져도 y=ax²의 계수 부호와 그래프 방향의 대응만 남겨 판단하는 것이 이번 학습의 기준입니다.