덕진동 고3수학과외

표가 바뀌어도 먼저 찾아야 할 관계

덕진동 생활권에서 수능 확률 문항을 함께 점검하던 중, 학생은 같은 자료가 식·표·나무그림으로 바뀌었을 때 풀이 순서가 흔들리는 모습을 보였다. 특히 신영통현대타운 인근 학습공간에서 풀던 기출 오답에서 표본공간 전체와 조건사건을 구분하지 않은 채, 앞 문제에서 사용한 계산 순서를 그대로 옮겨 적었다. 답 자체보다 어떤 사건을 표본공간으로 삼고, 어떤 조건이 분모를 바꾸는지를 먼저 판단하는 것이 이번 사건의 중심이었다.

표의 숫자를 식으로 옮기는 순간

주머니에 1, 2, 3, 4가 적힌 카드가 하나씩 있고 한 장을 뽑는 상황을 생각했다. 사건 A를 ‘짝수가 나오는 것’, 사건 B를 ‘2보다 큰 수가 나오는 것’으로 두면 전체 표본공간은 {1, 2, 3, 4}이고 B가 일어난 뒤의 표본공간은 {3, 4}이다. 따라서 A∩B는 {4}이므로

P(A|B)=P(A∩B)÷P(B)=(1/4)÷(2/4)=1/2

가 된다. 그런데 학생은 앞서 풀었던 문제처럼 먼저 A의 확률을 구한 다음 조건 B를 덧붙이려 했다. 표로 제시된 자료에서 ‘B가 일어난 경우만 남긴다’는 절차를 건너뛴 것이 최초 오류였다. 조건부확률의 분모를 전체 카드 네 장으로 고정한 채 분자를 바꾸려 했기 때문이다.

풀이 옆에 학생이 직접 작은 칸을 만들었다. 왼쪽에는 전체 표본공간, 오른쪽에는 B가 일어난 뒤 남는 표본공간을 적고, 조건사건을 상자로 둘렀다. 그 뒤에는 항상 “조건이 먼저 표본공간을 줄이는가?”라고 확인한 다음 A와 A∩B를 연결했다. 숫자를 계산하기 전에 사건의 포함 관계를 식으로 옮기는 한 가지 행동만 남긴 셈이다.

같은 정보를 나무그림으로 다시 읽기

자료 형식을 바꾸어, 빨간 공 2개와 파란 공 1개가 있는 상자에서 공을 한 개 뽑고 색을 확인하는 문제를 제시했다. 사건 C를 ‘빨간 공’, 조건 D를 ‘번호가 홀수인 공’처럼 표에만 드러나던 조건으로 바꾸지 않고, 이번에는 번호 1, 2, 3을 붙여 홀수 번호가 1과 3이라고 명시했다. 그러면 D가 일어난 뒤 가능한 결과는 1과 3이며, 그중 빨간 공이 1개라면 P(C|D)=1/2이다.

학생은 처음에 나무그림의 첫 가지에 전체 확률을 그대로 적고, 마지막 가지에서 조건을 처리하려 했다. 나는 가지를 늘리기 전에 D에 해당하지 않는 결과를 지우게 했다. 이후 남은 가지의 합을 새 분모로 삼고, C와 D가 동시에 표시된 가지의 합을 분자로 적게 했다. 표에서 하던 ‘조건사건 상자 표시’가 나무그림에서도 유지되는지 확인하는 교정이었다.

덕진동과외 수업에서 이 장면을 다시 재현할 때는 식을 먼저 주지 않고, 같은 자료를 표와 나무그림으로 번갈아 제시했다. 학생은 두 표현에서 공통으로 남는 관계가 ‘조건 D 안에서 C를 찾는 것’이라고 설명했다. 사용하지 않은 전체 자료는 계산에 넣지 않고, 조건 밖의 결과를 따로 표시했다.

힌트 없이 관계를 복원한 장면

다음 날에는 동전을 두 번 던지는 문제를 냈다. 표본공간을 {(앞, 앞), (앞, 뒤), (뒤, 앞), (뒤, 뒤)}로 두고, 사건 E를 ‘앞면이 한 번 이상’, 조건 F를 ‘첫 번째 결과가 앞면’으로 설정했다. F가 일어난 결과는 {(앞, 앞), (앞, 뒤)}이고, E∩F도 이 두 결과이므로 P(E|F)=1이다.

이번에는 표 대신 “첫 번째 던지기가 앞면이라는 사실이 알려졌다”는 문장만 제시했다. 학생은 먼저 F를 조건사건으로 찾아 해당하는 두 결과만 남겼고, E가 그 안에서 모두 성립한다고 말했다. 정답을 외워서 고른 것이 아니라, 조건에 따라 분모가 바뀌는 이유와 교집합이 무엇인지 세 줄로 재구성했다.

마지막으로 보기 없이 답과 근거를 적게 하자, 학생은 ‘전체 네 결과를 분모로 쓰지 않는다’고 먼저 적은 뒤 F의 표본공간을 다시 만들었다. 식·표·나무그림의 순서가 바뀌어도 조건사건을 상자로 분리하고, 그 안에서 목표 사건을 찾는 판단은 그대로 유지되었다. 오답 옆에는 계산값만 지우지 않고 “조건을 적용하기 전의 분모를 사용함”이라고 오류의 원인을 남겼다.