대흥동 중등수학과외

대흥동중등수학과외, 직육면체 높이 변화에서 겉넓이와 부피를 확인하는 방법

가로 9, 세로 3, 높이 4인 직육면체의 겉넓이와 부피를 구하는 문제에서 겉넓이는 150제곱단위, 부피는 108세제곱단위가 됩니다. 계산 결과를 맞혔더라도 ‘높이를 바꿔도 넓이가 그대로인 면은 어디인가요?’라는 질문에 이유를 연결하는 일은 별도의 확인이 필요합니다. 이 문제는 면들의 넓이를 모두 더하는 겉넓이와, 밑면 위로 쌓인 공간의 양을 구하는 부피를 구분해야 합니다. 대흥동중등수학과외에서는 정답을 다시 말하게 하기보다 식의 각 항이 어느 면과 어느 길이를 뜻하는지 짚어 보며 근거를 확인합니다.

밑면 두 개와 옆면 네 개를 나누어 보는 이유

직육면체에는 9×3 크기의 밑면과 윗면이 두 개 있습니다. 이 두 면의 넓이는 각각 27이므로 합은 2×27=54입니다. 높이 4가 바뀌더라도 가로 9와 세로 3이 그대로라면, 9×3으로 계산한 밑면과 윗면의 넓이는 변하지 않습니다. 반면 옆면은 높이를 포함합니다. 가로와 높이로 이루어진 면은 9×4가 두 개, 세로와 높이로 이루어진 면은 3×4가 두 개이므로 옆면의 합은 2×36+2×12=96입니다. 따라서 겉넓이는 54+96=150제곱단위입니다. 전개도에 밑면·윗면을 같은 번호로 표시하고, 옆면에는 ‘높이 4 포함’이라고 적으면 어떤 면이 높이와 관계있는지 눈에 드러납니다.

부피의 108은 어떤 곱에서 나오는가

부피는 겉면의 넓이를 합하는 값이 아니라 직육면체 안에 들어 있는 공간의 양입니다. 먼저 밑면 넓이 9×3=27제곱단위를 구하고, 그 밑면이 높이 4만큼 쌓였다고 보아 27×4=108세제곱단위로 계산합니다. 즉 9×3×4에서 높이는 마지막 곱셈의 한 항이며, 밑면 넓이에 곱해집니다. 단위 차원표로도 9단위×3단위는 제곱단위, 여기에 4단위를 다시 곱하면 세제곱단위가 됨을 확인할 수 있습니다. 풀이에 9×3과 ×4를 구분해 표시한 뒤 “부피에서는 높이가 어느 항에 곱해지나요?”라고 물으면, 단순 암기인지 관계 이해인지 더 구체적으로 살펴볼 수 있습니다.

높이를 8로 바꾼 비교 문제의 판단

높이만 8로 바꾸면 밑면과 윗면은 여전히 9×3인 두 면이므로 합이 54로 고정됩니다. 다만 옆면은 9×8이 두 개, 3×8이 두 개가 되어 2×72+2×24=192입니다. 따라서 새 겉넓이는 54+192=246제곱단위입니다. 부피는 같은 밑면 넓이 27에 새 높이 8을 곱하여 27×8=216세제곱단위입니다. 부피는 높이가 4에서 8로 두 배가 되었으므로 108에서 216으로 두 배가 되지만, 겉넓이는 높이와 무관한 54가 남아 있어 150의 두 배가 아닙니다. 다음 확인에서는 정답을 가린 상태에서 고정된 두 면과 높이가 들어가는 네 면을 표시하고, 9×3×8을 원래 부피 식의 구조로 설명할 수 있는지 살펴보면 됩니다.