대흥동 고등과외

대흥동고등과외에서 수학 서술형을 다룰 때 자주 확인하는 장면이 있다. 학생은 명제의 조건을 화살표로 정확히 적고도, 한 방향이 참이라는 이유만으로 반대 방향까지 성립한다고 결론낸다. 대전고등학교나 대전성모여자고등학교의 수학 내신을 준비하는 과정에서도 서술형 답안은 정답만 쓰는 방식으로 끝나지 않는다. 어느 조건이 필요하고 어느 조건이 충분한지, 그 판단을 무엇으로 확인했는지가 문장 안에 드러나야 한다.

화살표를 그린 뒤 생기는 판단의 빈틈

예를 들어 ‘x가 4의 배수이면 x는 짝수이다’라는 명제를 만났을 때 학생은 x가 4의 배수에서 x가 짝수로 가는 화살표를 그린다. 여기까지는 맞다. 그런데 곧바로 ‘x가 짝수이면 x는 4의 배수’라고 적으며 두 조건이 서로 필요충분하다고 판단한다. 2는 짝수지만 4의 배수는 아니므로 역명제는 거짓이라는 사실을 확인하지 않은 것이다.

수업 중에는 이 오류가 짧게 지나간다. 학생이 “한 방향이 맞으니까 반대도 비슷하지 않나요?”라고 말하면, 처음에는 풀이의 형태를 따라가며 답을 고치려 한다. 하지만 서술형에서 필요한 것은 답만 바꾸는 행동이 아니다. 원명제와 역을 분리하고 각각 예 또는 반례를 제시하는 과정이 남아야 한다.

반례를 먼저 찾는 교정 장면

교정할 때는 필요조건과 충분조건의 정의를 길게 외우게 하기보다, 학생이 그린 화살표 옆에 역방향 화살표를 따로 그리게 한다. 원명제의 방향은 실제 수를 대입해 확인하고, 역방향은 조건을 만족하지만 결론을 만족하지 않는 수가 있는지 찾는다. 앞의 명제에서는 2를 역명제의 반례로 기록한다. 그러면 ‘4의 배수’는 ‘짝수’가 되기 위한 충분조건이고, ‘짝수’는 ‘4의 배수’가 되기 위한 필요조건이라는 관계가 분리된다.

학생이 다른 풀이를 떠올렸을 때도 곧장 정답을 비교하지 않는다. 먼저 “왜 이 방법을 선택했는가”를 한 문장으로 말하게 한다. 예를 들어 “역명제가 거짓인지 확인하려고 2를 대입했다”라고 설명하면, 선택의 이유와 판단 근거가 연결된다. 이후 원문을 보지 않고도 ‘원명제는 성립하지만 역은 반례가 존재해 성립하지 않는다’고 말하게 한다. 이 과정에서 답안에 들어갈 근거 문장이 만들어진다.

서술형 답안에 남길 최소 구조

• 원명제의 조건에서 결론으로 향하는 방향을 표시한다.
• 역명제를 별도로 적고, 성립 여부를 예 또는 반례로 확인한다.
• 필요조건과 충분조건의 관계를 방향에 맞춰 문장으로 정리한다.

이 구조는 문제를 많이 푸는 것보다 판단이 바뀌는 지점을 드러내는 데 의미가 있다. 학생이 처음에는 원명제만 확인했다면, 다음 풀이에서는 역명제의 반례를 먼저 찾도록 순서를 바꾼다. 한밭도서관이나 송촌도서관처럼 조용히 문제를 다시 정리할 수 있는 장소에서 혼자 재시도할 때도, 힌트를 펼치기 전에 화살표와 반례를 직접 적는 습관을 확인한다.

다음 날 조건을 바꿔 독립 확인하기

같은 문제를 다시 풀어 맞히는 것만으로는 판단이 굳었다고 보기 어렵다. 다음 날에는 표현과 수치를 바꾼 명제를 제시한다. ‘정사각형이면 직사각형이다’와 ‘직사각형이면 정사각형이다’를 비교하게 하거나, ‘6의 배수이면 3의 배수이다’의 역을 검토하게 한다. 학생은 원문 풀이를 기억하지 않고도 한 방향을 확인한 뒤 역에서 반례를 찾는다.

난도를 높일 때는 숫자 대신 도형의 성질이나 함수 조건을 넣어 오류 지점을 살핀다. 이때도 답을 고르는 것보다 선택 이유를 먼저 말하게 한다. “이 조건이 충분한지 보려면 결론을 만족하지만 앞 조건을 만족하지 않는 사례를 찾는다”처럼 판단 기준을 설명하면, 표현이 달라져도 필요·충분 관계를 옮겨 적용할 수 있다.

자주 묻는 질문

시험에서 원명제만 증명하면 충분한가요?

필요조건과 충분조건을 묻는 문제라면 역명제도 따로 확인해야 한다. 역이 거짓이면 반례를 함께 제시해야 관계가 완성된다.

반례는 아무 숫자나 골라도 되나요?

역명제의 앞 조건은 만족하면서 뒤 조건은 만족하지 않는 수여야 한다. 두 조건을 모두 확인한 뒤 사용한다.

오답 복습은 풀이를 다시 베끼면 되나요?

화살표 방향을 다시 그리고, 처음 판단한 이유와 역명제의 반례를 자기 말로 적는 편이 오류 원인을 확인하기 쉽다.

혼자 공부할 때 무엇부터 확인하나요?

힌트를 보기 전에 원명제와 역을 분리해 적는다. 그다음 각각 예나 반례를 찾고 선택 이유를 말해 본다.

다음 날에도 같은 문제를 풀어야 하나요?

같은 문제보다 수치나 조건, 표현을 바꾼 명제를 풀어야 원리가 독립적으로 적용되는지 확인할 수 있다.