대흥동 중2수학과외
경계값을 직접 확인한 일차부등식 풀이
대흥동과외 수업에서 학생은 일차부등식의 해를 수직선에 나타내는 문제를 풀다가 계산 결과와 그림이 서로 맞지 않는 장면을 보였다. 대흥현대1차아파트와 한밭도서관이 있는 생활권의 문제지에는 다음과 같은 식이 제시되어 있었다.
3x-5≤7
학생은 먼저 양변에 5를 더해 3x≤12라고 적었다. 이어서 양변을 3으로 나누어 x≤4를 얻고, 수직선에 4를 표시했다. 그런데 4에 속이 빈 동그라미를 그린 뒤 왼쪽으로 화살표를 표시했다. 식의 계산 과정은 맞았지만, 경계값을 나타내는 표시에서 멈칫했다.
오답보다 먼저 살펴본 한 줄
학생은 예제에서 보았던 “작거나 같다” 표시를 수직선에 옮기면서, 부등호의 방향만 보고 동그라미 모양을 고르려 했다. 이 판단이 결과가 틀어지기 전의 첫 선택이었다. ≤는 4 자체도 해에 포함한다는 뜻인데, 학생은 왼쪽으로 간다는 방향과 경계값의 포함 여부를 한꺼번에 처리하려다 포함 표시를 반대로 선택했다.
교사는 이미 맞게 계산한 3x-5≤7에서 다시 시작하게 했다. 4를 원래 부등식에 넣으면 3×4-5=7이므로 7≤7이 성립한다. 따라서 x=4는 해에 들어간다. 학생은 수직선의 4에 채운 점을 그리고, 4보다 작은 수와 4를 모두 포함하므로 왼쪽으로 선을 이었다. 교정은 한 가지 기준으로 정리되었다. “경계값을 원래 부등식에 넣어 성립하면 채운 점, 성립하지 않으면 빈 점”이라고 적은 것이다. 이미 정확했던 이항과 나눗셈 과정은 그대로 두고, 표시 직전에 경계값만 확인했다.
식이 아닌 문장에서 해를 그리다
같은 숫자를 반복하지 않기 위해 다음 문제에서는 식을 먼저 주지 않았다.
어떤 수에 2를 곱한 뒤 3을 뺀 값이 9보다 크지 않다. 이 수의 범위를 부등식과 수직선으로 나타내어라.
학생은 문장을 읽으며 “크지 않다”에 밑줄을 긋고, 2x-3≤9라고 바꾸었다. 양변에 3을 더해 2x≤12를 만들고 x≤6을 얻었다. 이번에는 수직선에 6을 채운 점으로 표시했지만, 바로 화살표를 그리지 않고 6을 식에 대입했다. 2×6-3=9이므로 경계값이 포함된다는 말을 스스로 덧붙인 뒤 왼쪽 방향을 선택했다. 질문이 “가능한 수를 하나 쓰라”가 아니라 “범위를 나타내라”였기 때문에 점 하나가 아니라 6 이하 전체를 표시해야 한다는 점도 설명했다.
- “9보다 크지 않다”를 ≤로 번역했다.
- 경계값 6을 원래 문장에 넣어 조건을 확인했다.
- 6이 포함되므로 채운 점을 사용했다.
- 6보다 작은 수까지 포함하므로 왼쪽 방향을 그렸다.
부호가 바뀌는 문제에서 스스로 멈춘 순간
대흥동중2수학과외 수업의 독립 확인 문제는 앞의 문제와 표현을 바꾸었다.
-2x+1>7
학생은 먼저 양변에서 1을 빼 -2x>6을 적었다. 그다음 -2로 나누기 직전에 계산 줄 옆에 작은 표시를 남겼다. “음수로 나누므로 부등호 방향을 바꾼다”고 말하고 x<-3을 얻었다. 수직선에는 -3에 빈 점을 그리고 왼쪽으로 선을 표시했다.
이번에는 교사의 확인 질문이 없었지만 학생은 -3을 원래 식에 넣어 -2×(-3)+1=7임을 계산했다. 원래 조건은 7보다 커야 하므로 -3 자체는 포함되지 않는다. 그래서 빈 점이 맞고, -3보다 작은 수를 하나 골라 -4를 대입하면 9>7이 되어 왼쪽 방향도 맞는다고 검산했다.
학생은 풀이 아래에 “경계값을 넣어 점 모양을 정하고, 경계값의 양쪽 수로 방향을 확인한다”고 직접 적었다. 단순히 답을 맞힌 것이 아니라, 식을 문장으로 바꾸거나 음수로 나누는 상황에서도 첫 판단을 스스로 세운 것이다. 수직선에서 채운 점과 빈 점을 헷갈리던 학생이 새로운 부등식 앞에서 계산을 잠시 멈추고, 부호와 경계값을 따로 확인하는 장면으로 판단의 근거가 드러났다.