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대흥동 고2수학과외

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부분합의 차이에서 시작하는 등비수열 구간합

등비수열의 다섯째 항부터 열두째 항까지의 합을 구할 때, 시작 직전의 항을 빼야 한다. 따라서 구간합은 S12−S4로 나타낸다.

항 목록으로 먼저 확인하기

항을 나열하면 다음과 같다.

a1, a2, a3, a4, a5, a6, …, a12

S12에는 a1부터 a12까지가 포함되고, S4에는 a1부터 a4까지가 포함된다. 그러므로

a5+a6+⋯+a12=S12−S4

항의 개수도 12−5+1=8개이다. 단순히 12−5=7개로 세면 첫 항을 빠뜨리게 된다.

공비가 1일 때 식을 따로 확인하기

일반적인 공비와 예외

첫째 항이 a, 공비가 r인 등비수열의 첫 n항의 합은 r≠1일 때

Sn=a(rn−1)/(r−1)

이다. 그러나 r=1이면 모든 항이 a이므로

Sn=na

로 계산한다. r=1인 경우에 일반식을 그대로 대입하면 분모가 0이 되므로, 계산 직전에 공비를 확인해야 한다.

보기 판단 기준

  • a5부터 a12까지의 합을 S12−S4로 표현한 보기: 옳음
  • S12−S5로 표현한 보기: a5를 제외하므로 틀림
  • 항의 개수를 7개로 센 보기: 틀림
  • 공비가 1인데 일반적인 등비수열 합 공식을 사용한 보기: 조건 확인이 필요하며 틀림

풀이 기록을 바르게 고치는 방법

처음 풀이에서 시작 직전 합이 아니라 S5를 빼면 a5까지 제거된다. 이때 오류 지점은 계산 자체보다 구간의 첫 항을 확인하지 않은 데 있다.

따라서 문제를 읽은 뒤에는 먼저 구간을 실제 항 목록으로 옮기고, 그 다음 부분합의 차이를 정한다. 이런 점검 습관은 대흥동과외에서 등비수열의 합을 연습할 때도 계산 실수를 줄이는 데 도움이 된다.

최종 점검

구간이 am부터 an까지라면 항의 개수는 n−m+1이고, 구간합은 Sn−Sm−1이다. 단, 부분합 공식을 적용할 때 공비가 1인지 먼저 확인한다.

대흥동 고2수학과외 학부모 후기

교과서를 펼쳐 둔 밤, 아이가 복습하다가 마지막에 다시 볼 번호를 한쪽에 모아 적어 둔 게 눈에 띄었어요. 그냥 지나칠 수도 있는 표시였는데, 문제를 어디에서 확인할지 스스로 정해 둔 모양이더라고요. 대흥동 수학과외 후기를 찾아보던 때와는 별개로, 집에서 보인 장면이라 더 유심히 보게 됐습니다. 주말 늦은 오후에 방에 잠깐 들어갔을 때도 시험지 귀퉁이에 검산할 문제 번호가 따로 모여 있더라고요. 전에는 답이 맞지 않으면 처음 계산부터 전부 다시 하곤 했거든요. 이번에는 전체를 붙잡기보다 확인할 부분을 먼저 골라 둔 모습이었습니다. 복습을 마친 뒤에는 다시 살펴본 곳을 지우지 않고 그대로 남겨 두었어요. 다음에 어디를 봐야 하는지 표시가 한눈에 보이게 해 둔 채 문제집을 정리하더라고요.

★★★★★학부모 후기

주말 아침에 간식을 들고 방에 들어갔다가 책이랑 프린트를 정리하는 아이를 보게 됐어요. 문제를 그냥 넘기는 줄 알았는데, 한 번 읽었던 내용을 다시 훑으면서 숫자보다 조건이 적힌 문장에 먼저 동그라미를 치고 있더라고요. 대흥동 수학과외 이야기를 나누던 때에도 이런 장면이 눈에 들어왔어요. 전에는 자기가 왜 그 계산을 골랐는지, 처음 어떤 방식으로 풀었는지 따로 적어두는 일이 없었거든요. 그래서 풀이가 막히면 앞부분을 다시 살피기보다 답을 확인하는 쪽에 가까웠는데, 그날은 조건부터 짚고 계산 흔적을 잠시 들여다봤어요. 새 단어 목록을 받아든 날에도 숫자나 낯선 내용부터 보지 않고 조건 문장을 먼저 찾아 읽었습니다. 그리고 나중에 다시 살펴볼 부분 하나를 따로 정해 두었는데, 목록 아래쪽에 짧게 남겨둔 표시가 보였어요.

★★★★★학부모 후기

모의고사를 본 날 밤, 방에 잠깐 들어갔다가 아이가 방정식 문제를 붙잡고 있는 걸 보게 됐어요. 답만 맞춰 보려는 줄 알았는데, 구해 둔 후보 해를 원래 식에 하나씩 넣어 보면서 실제로 남길 값을 확인하고 있더라고요. 예전에는 다시 살펴볼 문제가 있어도 어디를 봐야 하는지 따로 표시하지 않았거든요. 대흥동 수학과외 이야기를 나누던 때에도 이런 부분을 눈여겨봤는데, 학교 숙제를 하던 날에는 자료를 펼쳐 둔 방식부터 달랐어요. 후보 해를 식에 대입해 확인한 뒤, 다시 볼 위치가 바로 보이도록 정리해 두었더라고요. 계산 결과만 지나가지 않고 어느 부분을 확인해야 하는지 남아 있는 모습이 보였어요.

★★★★★학부모 후기

주말마다 공부 계획을 세울 때면 수학은 막히는 순간 금세 지쳐 다음 진도로 넘어가려 했습니다. 대흥동에서 수업을 시작한 뒤 선생님은 지난 숙제를 함께 살피며 정답보다 풀이 과정을 먼저 말하게 하고, 막힌 부분을 편하게 묻게 해주셨습니다. 요즘은 아이가 해야 할 분량과 복습할 내용을 직접 확인한 뒤 책상에 앉는 날이 조금씩 늘었습니다.

★★★★★학부모 후기

대흥동에서 수학 과외를 시작한 뒤, 아이가 어려운 문제에 매달리기보다 쉬운 문제부터 다시 풀며 공부 흐름을 잡아 가는 모습이 눈에 띄었습니다. 시험 범위를 절반쯤 공부했을 때 선생님이 실제 일정에 맞춰 그날 할 일과 다음에 복습할 내용을 나누고, 질문하기 어려운 아이에게 중간중간 먼저 말을 걸어 주셨습니다. 요즘은 수업에서 배운 내용을 집에서 먼저 이야기하고, 시험기간에도 계획을 크게 미루지 않아 부모로서 안심이 됩니다.

★★★★★학부모 후기

대흥동에서 수학 과외를 시작한 뒤 아이가 숙제할 때 답지부터 찾는 일이 조금씩 줄었습니다. 컨디션이 좋지 않은 날에는 선생님이 문제 수를 조절하고 핵심만 짚어 주셔서 부담이 덜했고, 해야 할 일과 다음에 볼 내용을 분명히 나눠 주셨습니다. 요즘은 답지를 덮고 다시 풀어 보거나 모르는 부분을 선생님께 편하게 설명해 달라고 말하는 모습이 보여 부모로서 안심이 됩니다.

★★★★★학부모 후기