석봉동 중2수학과외

석봉동 중2수학과외에서 확인한 부등식의 방향

석봉동과외 수업에서 학생은 일차부등식의 해를 구한 뒤, 같은 조건을 다른 모양으로 바꾸어 읽는 연습을 하고 있었다.

첫 줄에서 놓친 판단

문제는 다음과 같았다.

어떤 수에 3을 더한 값이 11보다 작거나 같다. 그 수의 범위를 구하여라.

학생은 문장을 곧바로 x+3≤11로 옮겼다. 여기까지는 정확했다. 양변에서 3을 빼는 줄을 쓰면서는 등호와 부등호를 나란히 표시했고, x≤8도 얻었다. 교사는 같은 원리를 확인하기 위해 다음 식을 제시했다.

4x-5≤15

학생은 먼저 양변에 5를 더해 4x≤20을 만들었다. 그런데 다음 줄에서 4로 나누면서 부등호 옆에 방향을 바꾸는 표시를 했다. 답을 x≥5라고 적은 까닭은 음수를 나눌 때의 규칙을 떠올렸기 때문이었다. 이때의 최초 오류는 계산 결과가 아니라, 나누는 수 4의 부호를 확인하지 않고 부등호를 바꾸기로 선택한 것이었다.

부호를 먼저 읽고 양변을 함께 나누기

학생이 이미 맞힌 이항 과정은 그대로 두고, 마지막 한 줄만 다시 살폈다. 교사는 “4는 양수인가, 음수인가?”를 묻고 식 위에 ÷4, 양수라고 적게 했다. 양변을 양수로 나누면 두 수의 순서는 그대로이므로 부등호도 그대로 남는다.

4x≤20에서 양변을 4로 나누면 x≤5이다. 학생은 5를 경계값으로 정한 뒤 원래 식에 넣어 4×5-5=15를 확인했다. 또 x=6을 넣으면 19≤15가 거짓이므로 5보다 큰 수가 해가 될 수 없다고 설명했다. 단순히 규칙을 외우는 대신, 양수로 나눌 때 순서가 유지된다는 이유와 경계값 검산을 한 줄로 연결한 장면이었다.

표현을 바꾼 독립 적용

다음 문제는 식으로 주어지지 않았다.

수직선에서 2를 포함하고, 2보다 작은 모든 수를 색칠하였다. 이 조건을 부등식으로 나타내고, 양변에 3을 더했을 때의 범위를 말하여라.

학생은 수직선의 2에 닫힌 점이 있고 왼쪽으로 색칠된 것을 보고 x≤2라고 적었다. 이어 양변에 3을 더하면 x+3≤5라고 바꾸었다. 이번에는 숫자만 바뀐 문제가 아니라, 그림의 배열을 식으로 번역한 뒤 연산을 적용해야 했다. 학생은 “3을 더하는 것은 양수의 이동이라 방향을 유지한다”고 풀이 옆에 직접 적었다.

질문 방향을 바꾼 문항에서도 같은 판단을 사용했다.

y-7≤-1을 만족하는 y 중 가장 큰 경계값은 무엇이며, 이 부등식을 y에 대한 범위로 나타내어라.

학생은 양변에 7을 더해 y≤6을 얻고, 경계값 6을 원래 식에 넣어 6-7=-1임을 확인했다. 이어 y=7은 -1보다 작거나 같지 않으므로 포함되지 않는다고 설명했다. 부등호를 뒤집을 상황이 없다는 점도 “더하는 수 7은 양수지만, 더하기에서는 방향을 바꾸지 않는다”고 구분해 말했다.

힌트 없이 다시 세운 첫 판단

수업 끝에는 새로운 형태의 문제가 제시되었다.

어떤 수 a에 대하여 18≤3a+6일 때, a의 범위를 구하고 그 결과를 수직선으로 나타내어라.

학생은 먼저 양변에서 6을 빼 12≤3a를 만들었다. 예전처럼 식의 왼쪽과 오른쪽 위치가 바뀌어 보이자 잠시 멈췄지만, “3으로 나누는 것은 양수이므로 순서는 유지된다”고 스스로 말한 뒤 4≤a, 즉 a≥4로 정리했다. 수직선에는 4에 닫힌 점을 찍고 오른쪽을 표시했다.

검산도 도움 없이 진행했다. 경계값 a=4를 원래 식에 넣어 18≤18임을 확인하고, 해에 포함되지 않는 a=3을 넣어 18≤15가 거짓임을 확인했다. 학생은 “양변을 양수로 나누었으므로 부등호 방향을 바꾸지 않았고, 경계값과 바깥쪽 수를 넣어 범위를 확인했다”고 풀이 이유를 스스로 정리했다. 석봉동중2수학과외 수업에서 확인한 변화는 정답 하나가 아니라, 식·수직선·문장이 달라져도 먼저 나누는 수의 부호를 살피는 판단을 재현한 데 있었다.