석봉동 고1수학과외
석봉동 고1수학과외: 두 원의 위치 관계를 조건의 방향으로 읽기
두 원의 위치 관계를 묻는 문제에서 학생은 중심 사이의 거리와 두 반지름을 비교해야 한다는 점은 알고 있었다. 그러나 식의 마지막 조건을 옮기는 과정에서 비교 방향을 거꾸로 해석해, 서로 만나지 않는 경우와 두 점에서 만나는 경우를 바꾸어 적었다.
계산보다 먼저 비교식의 방향을 바로잡다
교정할 때 여러 풀이법을 섞지 않고, 두 원의 중심 거리 d와 반지름 r, R을 한 줄에 놓은 뒤 위치 관계를 나타내는 기준을 오른쪽에 다시 배열했다. 특히 r≤R인 경우를 기준으로 다음 경계를 구분하게 했다.
- d>R+r: 서로 만나지 않음
- d=R+r: 외접
- R-r<d<R+r: 두 점에서 만남
- d=R-r: 내접
- 0≤d<R-r: 한 원이 다른 원의 내부에 있음
학생은 식을 전개하는 데 집중하기보다, 마지막에 얻은 d의 범위가 어느 위치 관계에 해당하는지 비교 방향을 표시했다. 그 결과 부등식을 옮긴 뒤 경계값의 포함 여부를 놓치는 오류가 줄었다.
위치 관계는 이름을 외우는 문제가 아니라 중심 거리 d가 두 반지름의 합과 차 중 어디에 놓이는지 판단하는 문제다.
그림 대신 문장 조건으로 바꾼 적용
다음 문제에서는 그림을 보여 주지 않고 “두 원의 반지름은 각각 5와 2이고, 중심 사이 거리는 3보다 크고 7보다 작다”는 문장만 제시했다. 학생은 3=5-2, 7=5+2임을 찾아내어 두 원이 두 점에서 만나는 범위라고 판단했다. 단순히 숫자를 바꾼 것이 아니라, 그림의 위치를 거리 조건으로 전환해 분류한 것이다.
경계에서 결론이 바뀌는지 확인
마지막에는 새로운 조건 d=7을 제시하고, 앞의 범위와 같은 결론을 유지할 수 있는지 확인했다. 학생은 d가 두 반지름의 합과 같아지는 순간에는 두 점의 교점이 아니라 외접이 된다고 판별했다. 경계값을 포함하는지 다시 따져 보면서, 부등식의 방향과 위치 관계의 명칭이 함께 맞아야 한다는 점까지 검증했다.
석봉동 생활권에서 진행한 이 학습 사례는 두 원의 위치 관계를 공식에 대입하는 데서 멈추지 않고, 표현이 바뀐 조건을 거리의 비교식으로 재구성하는 연습으로 이어졌다.