태전동 중등수학과외

태전동중등수학과외, 동전과 회전판의 10가지 경우에서 1/10을 확인하는 방법

앞면과 뒷면이 같은 확률로 나오는 동전 1개를 던지고, 1부터 5까지의 수가 같은 확률로 나오는 회전판을 함께 시행한다고 해 보겠습니다. 두 시행은 서로 독립이므로 동전 결과가 회전판 숫자를 바꾸지 않습니다. 이때 전체 경우의 수는 무엇인지, 또 ‘앞면과 숫자 1이 함께 나올 확률’은 얼마인지를 구하는 과정에서 중요한 것은 경우를 많이 세는 것만이 아닙니다. 10가지 결과가 각각 같은 가능성을 지니는 조건까지 확인해야 확률을 바르게 계산할 수 있습니다. 태전동중등수학과외에서는 학생이 적은 두 줄의 풀이를 비교하며, 경우의 수를 센 판단과 확률을 정한 판단이 어디에서 달라졌는지 구체적으로 살펴볼 수 있습니다.

순서쌍으로 쓰면 전체 경우 10가지가 보입니다

먼저 결과를 ‘(동전, 회전판)’의 순서쌍으로 적습니다. (앞면,1), (앞면,2), (앞면,3), (앞면,4), (앞면,5)와 (뒷면,1), (뒷면,2), (뒷면,3), (뒷면,4), (뒷면,5)입니다. 동전은 2가지, 회전판은 5가지 결과를 내므로 전체 경우의 수는 2×5=10가지입니다. 나무그림에서는 동전의 앞면·뒷면 가지마다 회전판의 1, 2, 3, 4, 5를 이어 그려도 같은 결과가 나옵니다. 이때 중복 체크표로 이미 적은 순서쌍에 표시하면 (앞면,1)을 두 번 세거나 뒷면 쪽 다섯 가지를 빠뜨리는 일을 줄일 수 있습니다. 기본 과제의 답은 10가지이며, 이는 가능한 결과의 개수를 묻는 답입니다.

10으로 나누기 전에 ‘같은 확률’의 근거를 확인합니다

전체 경우가 10가지라는 사실만으로 각 결과의 확률이 자동으로 1/10이 되는 것은 아닙니다. 예를 들어 회전판의 칸 크기가 서로 다르다면 숫자는 5개여도 각 숫자가 나올 가능성은 같지 않을 수 있습니다. 그러나 여기서는 동전의 앞면과 뒷면이 같은 확률이고, 회전판의 1부터 5까지도 같은 확률로 나온다고 주어졌습니다. 또한 두 시행이 독립이므로 앞면과 숫자 1이 함께 나올 확률은 각각의 확률을 곱해 1/2×1/5=1/10입니다. 순서쌍 10개 가운데 (앞면,1) 한 개가 해당한다는 설명도 성립합니다. 다만 이 설명은 10개가 같은 확률이라는 조건을 확인했기 때문에 사용할 수 있습니다.

풀이에 ‘전체가 10가지이므로 답은 1/10’이라고만 적혀 있다면, 10을 센 계산은 맞아도 확률 판단의 근거가 빠져 있을 수 있습니다. 처음 쓴 줄은 지우지 않고 남겨 둔 뒤, 그 옆에 ‘동전의 두 면은 같은 확률인가?’, ‘회전판 결과와 동전 결과는 서로 독립인가?’를 표시합니다. 두 질문에 조건을 근거로 답한 다음 1/2×1/5를 쓰도록 고치면, 경우의 수와 확률을 연결한 이유가 풀이 안에 드러납니다. 한 번의 답만으로 개념 혼동인지 일시적 누락인지를 단정하기보다, 어느 줄에서 조건 확인이 빠졌는지를 보는 편이 정확합니다.

비교 과제는 도움 없이 식과 대입 결과를 남깁니다

비교 과제인 ‘앞면과 숫자 1이 함께 나올 확률’에서는 구할 대상이 전체 경우의 수가 아니라 한 사건의 확률입니다. 앞면은 동전의 두 결과 중 하나이므로 1/2, 숫자 1은 회전판의 다섯 결과 중 하나이므로 1/5입니다. 독립 시행이라는 조건을 적용하여 1/2×1/5=1/10, 따라서 답은 1/10입니다. 범위로도 확률은 0 이상 1 이하이어야 하므로 1/10은 가능한 값입니다. 또한 같은 확률의 10개 순서쌍 중 원하는 순서쌍이 하나라는 점과도 맞습니다.

다음에는 정답만 말하기보다 학생이 스스로 ‘(앞면,1)’을 사건으로 표시하고, 1/2×1/5라는 식과 1/10을 남기는지 확인합니다. 동전의 두 면이 같은 확률이라는 질문에는 답하지만 계산에서 멈춘다면 곱셈과 사건 표시를 더 살펴볼 수 있습니다. 반대로 10가지만 나열하고 같은 확률의 이유를 쓰지 못한다면, 나무그림의 각 끝점이 왜 같은 가능성인지 다시 연결해 볼 필요가 있습니다.