태전동 중2수학과외

오답의 끝에서 시작한 순환소수 풀이

태전동과외 수업에서 학생의 공책을 채점하던 중, 0.2\overline{7}을 분수로 나타내시오라는 문제의 답이 맞지 않는 것을 발견했다. 학생은 식을 세우고 계산까지 마쳤지만 최종 답은 7/25였다. 계산 줄만 고치기보다 완성된 풀이를 아래에서부터 거꾸로 읽어 보기로 했다. 태전동중2수학과외에서 진행한 이날의 핵심은 답이 아니라, 답으로 가는 첫 갈림길을 찾는 일이었다.

마지막 계산보다 앞선 한 줄

학생의 풀이에는 다음과 같은 기록이 있었다.

x=0.2777…, 10x=2.777…, 100x=27.777…
10x-x=2.777…-0.277…
9x=2.5
x=7/25

처음에는 마지막 뺄셈에서 소수 자리를 잘못 맞춘 것으로 보였다. 그러나 9x=2.5라는 줄에서 다시 앞을 향해 올라가자, 이미 0.277…을 0.277…이 아닌 0.277로 읽고 있었다. 순환하는 7은 끝나지 않는데, 학생은 순환소수의 일부를 유한소수처럼 보류 없이 끊어 적었다. 이것이 결과가 나오기 전 최초의 잘못된 판단이었다.

학생은 문제의 숫자 2에 밑줄을 긋고, 반복되는 숫자 7 위에는 작은 표시를 붙였다. 이어 “2는 한 번만 나오고 7만 계속된다”고 말했지만, 식에서는 그 구분을 유지하지 못했다. 유한소수와 순환소수의 조건을 한 줄 안에서 섞은 셈이다.

처음 어긋난 줄만 바로잡기

이미 세운 미지수와 곱셈 과정은 유지했다. x를 0.2777…로 두고, 반복이 한 자리이므로 10배와 100배를 각각 적었다.

• x=0.2777…
• 10x=2.7777…
• 100x=27.7777…

이제 소수점 뒤에 남는 반복 부분이 같아지도록 100x에서 10x를 뺀다.

100x-10x=27.7777…-2.7777…
90x=25
x=25/90=5/18

학생은 “10x와 100x를 만든 이유는 반복되는 7을 같은 모양으로 맞추기 위해서”라고 직접 설명했다. 처음부터 전부 다시 풀게 하지 않고, 반복 부분을 끝나지 않는 형태로 적는 판단만 교정하자 뒤의 뺄셈은 그대로 이어졌다.

표현을 바꾼 독립 적용

다음에는 식을 바로 주지 않고 다음 표를 제시했다. 학생은 빈칸에 들어갈 수를 채운 뒤, 표가 나타내는 소수를 분수로 바꾸었다.

• 소수: 1.3\overline{6}
• 한 번만 나타나는 숫자: 3
• 반복되는 숫자: 6
• 반복을 맞추기 위해 비교할 식: 100x와 10x

학생은 x=1.3666…으로 옮겨 적고 다음처럼 계산했다.

10x=13.6666…, 100x=136.6666…
100x-10x=136.6666…-13.6666…
90x=123
x=123/90=41/30

이번에는 질문의 방향도 바꾸었다. “41/30을 소수로 되돌렸을 때 순환소수가 되는 이유를 말하라”는 물음에 학생은 41/30=1.3666…이라고 적고, 3 다음에 6이 계속되므로 처음 표의 조건과 일치한다고 확인했다. 숫자만 바꾼 반복이 아니라, 소수의 표시를 표와 식으로 번갈아 해석한 장면이었다.

힌트 없이 다시 확인한 판단

수업 끝에는 학생에게 중간 풀이를 보여 주지 않고 0.45\overline{2}를 제시했다. 학생은 먼저 “4와 5는 한 번씩 나오고 2만 반복되므로 x=0.45222…로 써야 한다”고 말했다. 이어 반복 한 자리와 반복 전 두 자리를 구분해 1000배와 100배를 선택했다.

x=0.45222…
100x=45.2222…, 1000x=452.2222…
1000x-100x=407
900x=407, x=407/900

마지막 검산에서 학생은 407을 900으로 나누어 0.45222…가 되는지 확인하고, 분수의 소수 표현에서 2가 반복되는지 다시 표시했다. “반복 전 자리 수와 반복 자리 수를 보고 두 식의 배수를 정한 뒤, 반복 부분을 소거한다”고 이유까지 설명했다. 처음 오답의 원인이었던 ‘반복되는 숫자를 중간에서 끊어 읽는 판단’ 없이 새 문제의 첫 줄을 스스로 세운 것이다.