태전동 중3수학과외
태전동 중3수학과외, 근호 안의 완전제곱인수부터 확인하기
태전동과외를 진행하며 서술형 답안을 함께 읽던 중, 한 학생의 풀이에서 마지막 계산보다 더 앞선 판단이 문제였던 사례가 있었습니다. 매천중학교와 관천중학교가 포함된 생활권에서 중3수학과외를 찾을 때도 자주 만나는 유형이지만, 이번에는 정답을 맞히는 과정이 아니라 근호 안에서 완전제곱인 인수만 골라 밖으로 꺼내는 기준에 집중했습니다. 대구태전휴먼시아1단지와 협성휴포레강북작은도서관이 있는 생활권에서 참고할 만한 학습 장면이기도 합니다.
답안의 마지막 줄에서 거꾸로 찾은 분기점
문제는 다음과 같았습니다.
√72를 가장 간단한 꼴로 나타내시오.
학생이 적은 답안은 다음과 같았습니다.
√72 = √(8×9) = 8×3 = 24
겉으로는 72를 8과 9로 나누고, 9에서 3을 얻은 듯 보였습니다. 학생은 완성된 풀이를 뒤에서부터 읽으며 “24가 너무 큰 수 같다”고 말했습니다. 그래서 마지막 줄의 계산을 바로 고치지 않고, 24가 만들어진 첫 분기점을 찾기 위해 근호 안의 인수들을 다시 표시했습니다.
√(8×9)에서 9는 3²이므로 근호 밖으로 나올 수 있습니다. 그러나 8은 완전제곱수가 아니며, √8 전체를 그대로 두어야 합니다. 그런데 학생은 8까지 근호 밖으로 꺼내어 8×3으로 적었습니다. 실제 오류는 마지막에 8×3을 계산한 것이 아니라, 제곱인수가 아닌 8을 밖으로 이동시킨 순간 이미 시작되었습니다.
한 줄만 되돌려 바로잡기
전체 답안을 처음부터 다시 쓰게 하지 않고, 잘못 이동한 인수만 제자리로 돌렸습니다.
√72 = √(8×9) = √8×√9 = 3√8
여기서 √8은 더 이상 완전제곱인 인수를 포함하지 않으므로 그대로 둡니다. 학생이 처음에 72를 8×9로 나눈 판단과 9에서 3을 얻은 계산은 유지하고, 8을 밖으로 꺼낸 행동 하나만 수정한 것입니다. 답을 3√8로 쓴 뒤에는 3이 다시 근호 안으로 들어간 것이 아닌지 확인하기 위해, 밖으로 나온 3을 제곱하여 3²=9임을 적었습니다. 원래 피근수 72는 9×8로 다시 만들 수 있으므로, 밖으로 이동한 부분과 안에 남은 부분의 곱도 일치합니다.
이 장면에서 중요한 것은 인수를 무조건 밖으로 옮기는 것이 아니라, 피근수 안에서 제곱으로 묶이는 부분만 표시하는 것입니다. 예를 들어 72를 2×2×2×3×3으로 나누어 보아도, 같은 수 두 개가 묶인 2²과 3²만 근호 밖으로 나올 수 있습니다. 따라서 결과는 2×3√2=6√2가 되며, 이는 3√8과 같은 값을 나타냅니다. 이 역시 새로운 개념을 더하는 것이 아니라, 완전제곱인 인수를 찾았는지 확인하는 같은 기준의 표현입니다.
표현을 바꾼 독립 연습
다음에는 식을 바로 계산하지 않고, 답안 중간 한 줄을 가린 채 오류가 시작될 만한 지점을 찾도록 했습니다.
√180을 간단히 하려고 다음과 같이 적었다.
√180 = √(4×45) = 4√45
이 풀이에서 처음 잘못된 부분을 찾아 바르게 고치시오.
학생은 먼저 4가 2²이라는 점을 표시했습니다. 따라서 √4=2이지 4가 아닙니다. 45는 완전제곱수가 아니므로 근호 안에 남겨야 합니다. 바른 식은
√180 = √(4×45) = √4×√45 = 2√45
입니다. 학생은 “4를 밖으로 옮긴 것이 첫 오류”라고 하지 않고, 정확히 “4를 그대로 밖에 쓴 것이 잘못”이라고 설명했습니다. 즉, 밖으로 나오는 수는 완전제곱인 4 자체가 아니라 그 제곱근인 2라는 기준을 스스로 구별했습니다. 이후 45를 억지로 밖으로 꺼내지 않은 것도 같은 판단에 따른 것입니다.
힌트 없이 다시 확인한 마지막 문제
마지막에는 도움 없이 다음 문제를 제시했습니다.
√288을 완전제곱인 인수를 이용하여 간단히 나타내고, 밖으로 나온 수가 올바른지 검산하시오.
학생은 먼저 288을 16×18로 나타내고, 16=4²임을 확인했습니다.
√288 = √(16×18) = 4√18
그다음 18에는 완전제곱인 인수가 없다고 판단하여 더 이상 수를 밖으로 옮기지 않았습니다. 검산할 때는 밖으로 나온 4를 제곱해 16을 만들고, 안에 남은 18과 곱했습니다.
4²×18 = 16×18 = 288
따라서 4√18이라는 결과가 원래 피근수와 맞는다고 설명했습니다. 이번에는 누가 완전제곱인 인수를 표시해 주지 않았는데도, “밖의 수를 제곱한 뒤 안의 수와 곱해 원래 피근수를 되찾는다”는 근거까지 말했습니다. 태전동중3수학과외에서 확인할 핵심도 바로 이처럼 계산 결과보다 먼저, 근호 안에서 제곱으로 묶이는 인수만 선택했는지 스스로 검증하는 과정입니다.