태전동 고등수학과외

태전동 고등수학과외에서는 복소수 문제를 계산 속도보다 ‘어떤 조건에서 실수부와 허수부를 나누는가’부터 점검하며 풉니다. 강북고등학교와 매천고등학교 학생들이 자주 연습하는 유형도 식을 전개한 뒤 두 부분을 분리하는 과정에서 첫 오류가 드러나는 경우가 많습니다. 협성휴포레강북작은도서관이나 꿈꾸는문화예술도서관에서 풀이를 정리할 때도 결과만 적기보다 분리의 근거를 한 줄씩 남기게 합니다.

복소수 식을 실수부와 허수부로 나누는 순간

학생에게 식 x²+15x-1223=0을 복소수 범위에서 풀게 하자, 먼저 x를 실수처럼 보고 근의 공식을 적었습니다. 여기까지는 식의 계수가 모두 실수이므로 자연스러운 접근입니다. 그런데 x를 복소수라고 다시 설정한 뒤에도 실수부와 허수부를 구분하지 않고, “실수부는 x²+15x-1223, 허수부는 0”이라고 한 줄로 처리했습니다.

첫 오류는 바로 이 지점입니다. x 자체가 복소수일 수 있는데 x²을 실수항으로 취급한 것입니다. 복소수 x를 a+bi로 두면

(a+bi)²+15(a+bi)-1223
= (a²-b²+15a-1223)+(2ab+15b)i

처럼 제곱 과정에서 허수항이 새로 생깁니다. 실수부와 허수부를 나누려면 원래 식의 항 모양이 아니라 전개가 끝난 뒤의 계수를 살펴야 합니다.

첫 오류를 표시하고 다시 푸는 과정

학생의 풀이에서 ‘x²을 실수항으로 둔 부분’에 오류 표시를 하고, x=a+bi를 대입하는 줄로 되돌아갔습니다. 복소수가 0이 되려면 실수부와 허수부가 각각 0이어야 하므로

a²-b²+15a-1223=0
b(2a+15)=0

을 얻습니다. 두 번째 식에서 b=0인 경우와 2a+15=0인 경우를 나누어야 합니다.

b=0이면 x=a이고, 원래 식은 a²+15a-1223=0이 됩니다. 판별식은 15²+4×1223=5117이므로 해는

a=(-15±√5117)÷2

입니다. 두 해 모두 실제 실수입니다. 반대로 a=-15/2를 대입하면 첫 번째 식은 -b²-5117/4=0이 되어 b²=-5117/4가 됩니다. 실수 a와 b를 전제로 한 분리 과정에서는 불가능하므로 추가적인 비실수 해가 생기지 않습니다.

조건을 바꾼 뒤 혼자 적용하기

같은 절차를 그대로 외우지 않도록 학생에게 z²+6z+13=0을 제시했습니다. z=a+bi로 놓고 허수부를 먼저 정리하면 b(2a+6)=0입니다. b=0이면 실수식의 판별식이 음수가 되어 탈락하고, a=-3을 넣으면 -b²+4=0이므로 b=±2를 얻습니다. 따라서 z=-3±2i입니다. 앞 문제와 달리 이번에는 허수해가 실제로 남는다는 점을 스스로 확인하게 했습니다.

켤레복소수로 마무리 검산

마지막에는 분리 결과만 믿지 않고 z=-3+2i와 켤레복소수 -3-2i를 함께 확인했습니다. 두 값을 원식에 각각 대입하면

(-3+2i)²+6(-3+2i)+13=0

이 되고, 켤레를 대입한 값도 0이 됩니다. 켤레인 두 해가 함께 나타나는 것은 실수 계수를 가진 다항식의 성질과도 맞습니다. 반면 x²+15x-1223에서는 b=0으로 끝났으므로 허수부가 사라지는지 확인하는 과정이 실수해만 남는 이유를 분명히 보여 줍니다.

자주 묻는 점

복소수 식이면 항상 허수해가 나오나요?

아닙니다. 복소수 범위에서 풀더라도 모든 해가 실수일 수 있습니다.

실수부와 허수부는 언제 나누나요?

복소수를 a+bi로 치환하고 전개한 뒤, i가 없는 항과 i가 붙은 항을 각각 정리합니다.

b(2a+15)=0에서 왜 경우를 나누나요?

곱이 0이면 두 인수 중 적어도 하나가 0이므로 b=0 또는 2a+15=0을 따로 조사해야 합니다.

마지막에 켤레를 확인하는 이유는 무엇인가요?

계수가 실수인 식에서 한 복소수 해가 나오면 켤레도 해인지 확인할 수 있어 계산 오류를 잡는 데 도움이 됩니다.