봉무동 중등수학과외

봉무동중등수학과외, 동전과 회전판에서 12가지 경우와 1/12를 확인하는 방법

경우의 수와 확률에서는 ‘결과가 모두 몇 개인가’와 ‘각 결과가 같은 가능성으로 나오는가’를 나누어 보는 습관이 중요합니다. 앞면과 뒷면의 확률이 같은 동전 1개, 1부터 6까지의 숫자가 같은 확률로 나오는 회전판을 서로 독립으로 시행할 때 전체 경우를 묻는 문제를 생각해 보겠습니다. 동전은 2가지, 회전판은 6가지 결과이므로 전체 결과는 2×6=12가지입니다. 다만 12가지라고 세었다는 사실만으로 언제나 각 결과의 확률이 같다고 결론 내릴 수는 없습니다. 이 문제에서는 동전의 두 면이 같은 확률이고 회전판의 여섯 숫자도 같은 확률이며, 두 시행이 독립이라는 조건이 함께 주어졌기 때문에 확률 계산까지 이어질 수 있습니다.

순서쌍으로 적으면 빠진 경우와 중복이 보입니다

전체 경우를 세는 첫 단계에서는 결과를 (동전 결과, 회전판 숫자)의 순서쌍으로 씁니다. (앞면, 1), (앞면, 2), …, (앞면, 6)을 먼저 적고, 이어서 (뒷면, 1), (뒷면, 2), …, (뒷면, 6)을 적으면 모두 12개입니다. 단계별 나무그림으로도 동전의 앞면·뒷면에서 각각 1부터 6까지 여섯 갈래가 뻗는 모습을 확인할 수 있습니다. 중복 체크표에서는 같은 순서쌍을 두 번 쓰지 않았는지, 앞면 또는 뒷면 쪽의 여섯 결과를 빠뜨리지 않았는지를 살핍니다.

여기서 2+6=8이라고 더하는 것은 두 선택을 한 번씩 함께 시행하는 구조를 놓친 계산입니다. 반대로 2×6=12라고 곱한 뒤 “그러므로 모든 경우의 확률도 같다”고 바로 쓰는 것도 근거가 부족할 수 있습니다. 예를 들어 동전의 한 면이 더 잘 나오거나 회전판 칸의 크기가 서로 다르면 결과 수는 12가지여도 각각의 확률은 같지 않을 수 있습니다. 따라서 풀이 옆에 ‘동전 두 면은 같은 확률’, ‘회전판 1~6은 같은 확률’, ‘두 시행은 독립’이라고 문제에서 준 조건을 표시해 둡니다.

12가지와 1/12는 서로 다른 질문에 답합니다

봉무동중등수학과외에서 이 부분을 교정할 때는 먼저 전체 경우를 구하는 질문과 한 사건의 확률을 구하는 질문을 분리해 봅니다. 기본 문제의 답은 12가지이며, 이는 가능한 순서쌍의 개수입니다. 비교 문제인 ‘앞면과 숫자 1이 함께 나올 확률’에서는 원하는 결과가 (앞면, 1) 한 가지입니다. 각 순서쌍이 같은 확률이라는 조건이 확인되었으므로 원하는 경우 1개를 전체 경우 12개로 나누어 1/12가 됩니다.

독립이라는 말은 회전판에서 1이 나왔는지가 동전의 앞면·뒷면 확률을 바꾸지 않고, 동전 결과도 회전판 숫자의 확률을 바꾸지 않는다는 뜻입니다. 계산으로 쓰면 P(앞면과 1)=P(앞면)×P(1)=1/2×1/6=1/12입니다. 이 식은 12가지 중 하나라는 순서쌍 풀이와도 일치합니다. 확률은 0과 1 사이여야 하므로 1/12가 그 범위에 있는지도 확인할 수 있습니다. 이 확인은 단순히 답의 모양을 보는 일이 아니라, 같은 확률의 조건을 사용해도 되는 문제인지 다시 점검하는 과정입니다.

수정한 식 옆에 조건을 남기고, 도움 없이 다시 확인합니다

처음 풀이에서 전체 경우 수만 쓰고 각 경우의 확률을 같다고 단정했다면, 그 줄을 지우기보다 옆에 수정 이유를 남겨 두는 편이 좋습니다. ‘12개로 셈’ 다음에 ‘각 결과가 같은 확률인가?’를 적고, 동전의 두 면과 회전판의 여섯 결과에 관한 문장을 문제에서 찾아 표시합니다. 교사는 “동전의 두 면은 같은 확률로 나오나요?”처럼 짧게 물어 조건과 학생이 임의로 덧붙인 판단을 구분하도록 돕습니다. 그 뒤에는 답을 알려 주지 않은 상태에서 비교 문제를 다시 풀게 하여, (앞면, 1)을 한 가지 순서쌍으로 정하고 1/12를 스스로 쓸 수 있는지 확인합니다.

다음 확인에서는 “회전판 결과와 동전 결과는 서로 독립인가요?”라는 질문에 말뿐 아니라 1/2×1/6 또는 12개의 같은 확률 순서쌍이라는 근거를 붙이는지를 봅니다. 전체 경우를 12가지로 정확히 나열했더라도 같은 확률의 이유를 설명하지 못한다면, 나무그림의 갈래와 문제의 조건 표시를 다시 연결해 볼 필요가 있습니다. 반대로 조건을 근거로 든 뒤 원하는 경우와 전체 경우를 구분해 1/12를 계산한다면, 다음 문제에서도 먼저 ‘무엇이 같은 확률인지’를 표시하는 흐름으로 이어 갈 수 있습니다.