봉무동 중1수학과외

봉무동 중1수학과외에서 확인한 절댓값의 경계

봉무동과외 수업에서 학생은 영신중학교가 포함된 생활권의 교과서 문제를 풀다가 절댓값과 수의 대소를 비교하는 부분에서 멈췄다. 문제는 다음과 같았다.

절댓값이 3보다 작은 정수와 -3보다 큰 정수 중 어느 조건이 더 넓은지 수직선에 나타내고 설명하시오.

학생은 공책에 먼저 |x|<3을 쓰고, “x는 -3보다 작거나 3보다 크다”라고 적었다. 이어서 수직선의 양쪽에 -3과 3을 표시한 뒤 바깥쪽을 색칠했다. 숫자 계산은 빠르게 진행했지만, 두 조건을 모두 같은 방향의 범위로 해석한 것이 풀이를 어긋나게 만든 첫 판단이었다.

오답의 한 줄에서 거꾸로 확인한 것

학생이 쓴 문장을 절댓값의 뜻과 나란히 놓았다. 절댓값은 수직선에서 0까지의 거리이므로 |x|<3은 0에서 거리가 3보다 가까운 수를 뜻한다. 따라서 -3과 3 사이에 있는 수만 해당하며, 경계인 -3과 3은 포함되지 않는다.

학생은 지우개로 바깥쪽 색칠을 지우고 -3과 3 사이를 다시 표시했다. 정수만 고르면 -2, -1, 0, 1, 2이고, 조건을 부등식으로 쓰면 -3<x<3이다. 반대로 “-3보다 큰 정수”는 -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4처럼 오른쪽에 있는 모든 정수이므로 두 조건은 같은 범위가 아니다.

교정은 한 가지로 제한했다. 절댓값 부등식을 바로 부호가 있는 식으로 바꾸지 않고, 먼저 0에서의 거리를 수직선에 표시하기로 했다. 그 뒤 양 끝점이 포함되는지 부등호를 다시 확인했다. 이 순서를 적용하자 기존에 맞게 계산했던 정수 목록은 그대로 살리면서 잘못 칠한 방향만 바로잡을 수 있었다.

표현이 바뀌어도 같은 판단을 세우기

다음 문제는 식으로 주어지지 않았다.

아침 기온이 0℃에서 2℃보다 가깝다는 것은 어떤 정수 온도를 뜻하는가? 단, 0℃에서 정확히 2℃ 떨어진 경우는 제외한다.

학생은 문제의 문장을 먼저 |t|<2로 바꾸었다. 온도는 양수와 음수가 모두 가능하므로 수직선에 -2, 0, 2를 표시하고, 0과 -2 사이 및 0과 2 사이만 선택했다. 따라서 정수 온도는 -1℃, 0℃, 1℃라고 답했다.

이번에는 질문의 방향을 바꾸었다. “0℃에서 2℃ 이상 떨어진 정수 온도는 무엇인가?”라고 묻자 학생은 |t|≥2를 세우고, 경계인 -2와 2도 포함해야 한다고 말했다. 이에 따라 -2 이하 또는 2 이상인 정수라고 정리했다. 같은 절댓값 개념이라도 ‘가깝다’와 ‘이상 떨어졌다’가 수직선에서 안쪽과 바깥쪽으로 달라진다는 점을 식과 말로 연결했다.

봉무동 생활권의 태왕메트로시티와 대구지식산업작은도서관 인근 생활권에서 접할 수 있는 온도표 문제처럼 보이도록 표현을 바꾸었지만, 새로운 계산 단계를 넣지는 않았다. 학생은 온도 단위가 ℃인지 확인하고, 기준점이 0인지도 문장에서 다시 찾았다.

힌트 없이 다시 세운 풀이

수업 후 제시한 독립 문제는 “정수 x가 -4보다 크고 4보다 작은 범위에서 |x|가 가장 큰 수를 찾고, 양 끝 숫자를 포함할 수 있는지 설명하시오”였다. 학생은 도움을 기다리지 않고 먼저 수직선에 -4와 4를 표시했다. “x는 -4와 4 사이에 있지만, -4와 4는 ‘보다 작다’와 ‘보다 크다’가 아니라 경계 밖에 놓인다”고 적었다.

그다음 가능한 정수 중 0에서 가장 먼 수를 양쪽에서 비교해 -3과 3을 골랐다. 두 수의 절댓값은 각각 3이고, 원래 조건에 대입하면 -4<-3<4, -4<3<4가 모두 성립한다. 반면 -4와 4는 원래 조건에 들어가지 않으므로 후보가 될 수 없다고 검산했다.

학생은 마지막 답안에 “절댓값은 0에서의 거리이므로 수직선에서 양쪽을 함께 보되, 문제의 부등호에 따라 경계를 포함하거나 제외한다. 이번 문제에서는 양 끝이 제외되어 절댓값이 가장 큰 정수는 -3과 3이다”라고 스스로 설명했다. 봉무동중1수학과외에서 확인하려던 핵심은 정답 자체가 아니라, 경계와 부호를 따로 확인한 뒤 같은 개념을 식·수직선·온도 문장에 다시 적용하는 과정이었다.