봉무동 중3수학과외

봉무동 중3수학과외에서 살펴본 동류근의 뺄셈

봉무동과외 수업에서 단원평가 직전 한 학생의 풀이를 확인했습니다. 영신중학교가 포함된 생활권에서 자주 접하는 제곱근 계산 문제였지만, 이 학생은 계산 자체보다 어떤 항끼리 뺄 수 있는지를 먼저 판단하는 과정에서 흔들리고 있었습니다. 봉무동중3수학과외에서는 답만 고치지 않고, 식의 경계가 바뀌는 순간을 찾아보기로 했습니다.

계수보다 먼저 확인해야 할 것

학생이 적은 문제는 다음과 같았습니다.

3√5－√20－2√5를 간단히 하시오.

학생의 풀이 기록에는 다음과 같이 적혀 있었습니다.

3√5－√20－2√5
= (3－1－2)√5
= 0

처음 두 항의 계수를 3과 1로 보고, 마지막 항의 계수 2까지 한꺼번에 계산한 모습입니다. 하지만 √20은 √5와 같은 근호 부분을 가진 항이 아닙니다. 여기서 처음 어긋난 판단은 최종 계산인 0이 아니라, 근호 안의 수가 다른 항을 같은 항으로 표시한 것입니다.

동류근을 구별할 때는 계수만 볼 수 없습니다. 예를 들어 3√5와 －2√5는 근호 부분이 모두 √5이므로 동류근입니다. 반면 －√20은 근호 부분이 √20이므로 두 항과 바로 묶을 수 없습니다. 이번 문제에서 계산할 수 있는 범위는 3√5와 －2√5 사이뿐입니다.

표시 하나만 바꾸어 다시 계산하기

학생에게 풀이 전체를 새로 외우게 하지 않고, 동류근에만 밑줄을 긋도록 했습니다.

3√5－√20－2√5

밑줄 친 항의 계수만 뺄셈하면 됩니다.

3√5－2√5－√20
= (3－2)√5－√20
= √5－√20

여기서 √5와 √20은 근호 부분이 다르므로 더 이상 하나의 항처럼 묶지 않습니다. 따라서 정리는 √5－√20에서 멈춥니다. 이 교정은 계산 순서를 전부 바꾸는 것이 아니라, 처음 잘못 표시했던 항의 범위만 바로잡은 것입니다. 이미 알고 있던 계수의 뺄셈은 그대로 활용했습니다.

표현이 달라진 문제에서 기준 찾기

다음 문제는 숫자만 바꾼 형태가 아니라, 동류근이 식의 가운데에 흩어져 있고 조건이 먼저 제시된 경우였습니다.

다음 식에서 근호 부분이 같은 항끼리만 묶어 계산하시오.
－√12＋4√3－√3＋2√12

학생은 이번에는 항의 순서대로 바로 계산하지 않고, 먼저 근호 부분을 확인했습니다.

• √12를 포함한 항: －√12, 2√12
• √3을 포함한 항: 4√3, －√3

따라서 식을 같은 근호 부분끼리 다시 배열하면

(－√12＋2√12)＋(4√3－√3)
= √12＋3√3

가 됩니다. √12와 √3은 서로 다른 근호 부분이므로, 학생은 마지막에 두 항을 하나로 합치지 않았습니다. 이번에는 항의 위치가 바뀌어도 계수가 아니라 근호 부분을 기준으로 묶는 판단을 적용했습니다. 태왕메트로시티와 대구지식산업작은도서관이 있는 생활권에서 학습할 때도, 문제의 모양보다 이 기준을 먼저 표시하는 연습이 유용합니다.

힌트 없이 확인한 마지막 풀이

마지막에는 도움 없이 다음 문제를 풀게 했습니다.

다음 식을 동류근끼리 정리하시오.
2√7－√2＋5√2－3√7

학생은 먼저 식 위에 표시를 남겼습니다.

2√7－3√7 ＋ (－√2＋5√2)

그 뒤 실제 계산을 다음처럼 설명했습니다.

(2－3)√7＋(－1＋5)√2
= －√7＋4√2

“√7끼리와 √2끼리만 계수를 계산했고, 서로 다른 근호 부분은 끝까지 따로 남겼습니다. 정리 전에는 √7 항과 √2 항이 각각 두 개였고, 정리 후에도 √7과 √2라는 두 종류가 남아 있으므로 다른 종류를 합치지 않은 것이 맞습니다.”

이처럼 새로운 식에서도 먼저 근호 부분을 비교하고, 완전히 같은 항만 묶은 뒤, 남은 근호의 종류를 확인하면 동류근의 뺄셈에서 경계를 스스로 지킬 수 있습니다.