봉무동 고2수학과외







봉무동과외에서 다룬 극한과 그래프 해석
최종 검증에서 학생은 같은 \(x=2\)에 표시된 두 점 중 위쪽 점을 함수값으로 골랐다. 하지만 그래프에는 열린점 \((2,5)\)과 닫힌점 \((2,1)\)이 함께 있었다.
그래프의 두 점이 뜻하는 것
| 표시 | 좌표 | 의미 |
|---|---|---|
| 열린점 | \((2,5)\) | 곡선이 가까워지는 값 |
| 닫힌점 | \((2,1)\) | 실제로 정의된 함수값 |
따라서 곡선이 \(x=2\)에 가까워질 때의 높이는 5이므로
\[ \lim_{x\to 2}f(x)=5 \]
닫힌점이 \((2,1)\)에 있으므로 실제 함수값은
\[ f(2)=1 \]
최초 오류의 원인
학생의 풀이 기록은 다음과 같았다.
\(x=2\)에서 가장 높은 점의 y좌표가 5이므로 \(f(2)=5\).
이 판단은 열린점을 함수값으로 해석한 데서 비롯되었다. 열린점은 해당 좌표가 함수에 포함되지 않는다는 표시이므로 함수값이 될 수 없다. 반면 닫힌점은 그래프에 실제로 포함된 점이다.
후보를 줄이는 최종 확인
함수값과 극한값이 다른 점 찾기
다음 중 함수값과 극한값이 다른 경우를 고르면 된다.
- A. \(f(1)=3,\ \lim_{x\to1}f(x)=3\)
- B. \(f(2)=1,\ \lim_{x\to2}f(x)=5\)
- C. \(f(3)=4,\ \lim_{x\to3}f(x)=4\)
정답은 B이다. \(x=2\)에서 닫힌점의 y좌표와 곡선이 접근하는 열린점의 y좌표가 다르기 때문이다.
영신고등학교 학생이 그래프를 해석할 때는 같은 x좌표에 점이 여러 개 보여도 먼저 닫힌점을 찾아 \(f(a)\)를 결정하고, 곡선의 접근 방향을 따로 살펴 \(\lim_{x\to a}f(x)\)를 구해야 한다. 이 순서를 익히는 것이 대구고3수학과외에서 극한 문제를 안정적으로 푸는 핵심이다.