괴전동 중등수학과외

괴전동중등수학과외, 9·12 직각삼각형에서 빗변과 직각변 식을 구분해 확인하기

피타고라스 정리에서는 숫자를 제곱해 더하는 순서보다 먼저, 어떤 변이 빗변인지 판단해야 합니다. 두 직각변의 길이가 9와 12인 직각삼각형에서 구할 것은 직각의 맞은편에 있는 빗변입니다. 반대로 빗변이 15이고 한 직각변이 9인 문제에서는 남은 직각변을 구합니다. 두 문제 모두 a²+b²=c²를 사용하지만, 미지수가 놓인 자리에 따라 계산이 달라집니다. 괴전동중등수학과외 수업에서는 답만 맞히게 하기보다 주어진 길이와 구할 변을 그림에서 구분한 뒤 식을 고치도록 설명할 수 있습니다.

직각의 맞은편을 먼저 표시해야 하는 이유

직각 표시가 있는 꼭짓점을 찾고, 그 맞은편 변에 c 또는 ‘빗변’이라고 적습니다. 피타고라스 정리 a²+b²=c²에서 c는 언제나 빗변이므로, 세 변 가운데 가장 긴 변이라는 성질도 함께 확인할 수 있습니다. 기본 문제에서는 9와 12가 서로 직각을 이루는 두 변이고, 빗변을 x라고 둘 수 있습니다. 따라서 9²+12²=x², 즉 81+144=x²가 됩니다. 정사각형 넓이 그림으로 보면 두 작은 정사각형의 넓이 81과 144를 합친 225가 빗변 위 정사각형의 넓이입니다. 그러므로 x²=225, x=15입니다. 길이는 음수가 될 수 없으므로 -15가 아니라 15를 답으로 씁니다.

직각변을 구할 때 더하기를 그대로 쓰지 않는 교정

혼동은 비교 문제에서 더 분명하게 드러납니다. 빗변 15, 한 직각변 9, 다른 직각변 x라면 9²+x²=15²입니다. 이때 x를 구하는데도 9²와 15²를 더해 x²=306처럼 적었다면, 빗변의 제곱이 어느 쪽에 있어야 하는지 놓친 경우입니다. 15는 직각의 맞은편 변이므로 먼저 등식의 한쪽에 15²를 적고, x²=15²-9²로 정리해야 합니다. x²=225-81=144이므로 x=12입니다. 처음 쓴 줄을 지우기 전에 ‘x가 빗변인가, 직각변인가’를 옆에 표시하고, 빗변을 구할 때는 두 직각변의 제곱을 더하며 직각변을 구할 때는 빗변 제곱에서 다른 직각변 제곱을 뺀다는 이유를 연결합니다.

두 답을 실제 관계로 검산하고 다음 판단을 살피기

기본 문제의 15는 9²+12²=15², 즉 81+144=225로 원래 관계에 들어맞습니다. 비교 문제의 12도 9²+12²=15²로 대입되어 같은 관계를 만족합니다. 여기서 12와 15를 단순히 외우는 대신, 15가 두 문제 모두 직각의 맞은편에 표시되는지 확인하는 것이 중요합니다. 독립적으로 비교 문제를 풀 때에는 먼저 직각과 빗변을 표시하게 하고, 그 다음에 어떤 제곱을 더하거나 빼야 하는지 식으로 쓰게 합니다. “직각의 맞은편 변은 어느 변인가요?”, “모르는 변이 빗변일 때와 직각변일 때 식이 같은가요?”라는 질문에 그림과 식을 근거로 답하고 12를 얻는지 살펴보면 됩니다. 답을 대신 알려주기보다 멈춘 식과 수정 이유를 남겨 두면, 개념의 혼동인지 계산 과정의 누락인지 다음 설명에서 더 정확히 확인할 수 있습니다.