괴전동 중1수학과외
괴전동 생활권에서 이어 간 절댓값과 수의 대소 풀이
괴전동과외 수업에서 중1 학생이 다룬 중심 주제는 절댓값과 수의 대소였다. 태왕메트로시티와 대구지식산업작은도서관 인근 생활권, 그리고 강동중학교가 포함된 지역에서 자주 접할 수 있는 수직선 문제를 골랐다. 문제는 다음과 같았다.
수직선에서 점 A의 위치는 -3이고, 점 B의 위치는 2이다. 다음 보기 중 두 점에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 고르시오.
ㄱ. |A|＜|B| ㄴ. A＜B ㄷ. A와 B 중 0에서 더 가까운 점은 A이다.
한 줄의 판단에서 시작된 오류
학생은 답안에 먼저 “-3은 2보다 작으므로 A가 0에 더 가깝다”라고 적었다. 수의 크기와 0에서 떨어진 거리를 같은 기준으로 판단한 것이다. 이후 ㄱ을 틀린 보기로 표시하고, ㄴ만 정답이라고 골랐다. 계산 자체가 틀어진 최초의 지점은 음수와 양수의 대소를 확인한 뒤 그 결과를 절댓값의 크기에도 그대로 적용한 판단이었다.
풀이를 되짚으며 학생이 적은 수직선을 살펴보았다.
−3 0 2
수직선에서 왼쪽에 있는 수가 더 작다는 사실은 ㄴ을 판단할 때 사용한다. 그러나 절댓값은 0에서 해당 수까지의 거리이므로, -3의 절댓값은 3, 2의 절댓값은 2라고 따로 읽어야 한다. 부호를 없애고 무조건 큰 수로 바꾸는 것이 아니라, 원점에서의 위치를 거리로 해석하는 과정이 필요했다.
조건을 분리해 다시 표시하기
학생은 두 판단을 나란히 적었다.
- 수의 대소: -3은 2보다 왼쪽이므로 -3＜2
- 절댓값의 대소: |-3|=3, |2|=2이므로 3＞2
따라서 ㄴ은 옳고, ㄱ은 옳지 않다. ㄷ도 절댓값을 비교하면 A는 0에서 3만큼, B는 0에서 2만큼 떨어져 있으므로 옳지 않다. 학생은 답을 고치는 데서 멈추지 않고 “왼쪽에 있는지와 0에서 가까운지는 다른 질문이므로 조건을 따로 읽었다”고 설명했다. 절댓값 문제에서 부호와 위치를 먼저 확인한 뒤 거리 비교를 해야 한다는 교정이 한 번의 풀이 안에서 분명해졌다.
그림을 온도표로 바꾸어 적용하기
같은 숫자를 반복하지 않기 위해 문제의 표현을 바꾸었다.
아침 기온은 -4℃, 낮 기온은 1℃이다. 어느 기온이 0℃에 더 가까운가? 또 두 기온 중 더 낮은 것은 무엇인가?
학생은 표를 만들어 조건을 나누었다.
- 아침: 위치 -4, 절댓값 4
- 낮: 위치 1, 절댓값 1
0에서 더 가까운 기온은 절댓값이 작은 1℃이고, 더 낮은 기온은 수직선에서 왼쪽에 있는 -4℃이다. 이번에는 “낮 기온이 더 따뜻하므로 0에서도 가깝다”라고 감으로 답하지 않고, 절댓값과 수의 대소를 각각 표시했다. 이어서 경계 조건도 확인했다. 기온이 0℃라면 절댓값은 0이므로 0에서 가장 가깝고, -1℃와 1℃는 절댓값이 같아 어느 쪽이 더 가깝다고 말할 수 없다는 점을 직접 적었다.
힌트 없이 다시 세운 풀이
수업 후 제시한 새 문제는 표현을 더 바꾸었다.
수직선에서 P는 -1.5, Q는 -0.5에 표시되어 있다. 다음 문장을 판단하시오.
“P는 Q보다 왼쪽에 있지만, 0에서는 Q가 더 멀리 있다.”
학생은 별도의 안내 없이 먼저 위치를 적었다. -1.5가 -0.5보다 왼쪽이므로 P＜Q이다. 다음으로 거리를 비교해 |-1.5|=1.5, |-0.5|=0.5라고 썼다. 따라서 0에서 더 먼 점은 P이고, 제시된 문장은 거짓이라고 결론냈다.
학생은 마지막에 “수직선의 왼쪽과 오른쪽은 수의 대소를 정하고, 절댓값은 0까지의 거리를 정한다. 두 조건이 섞여 있으면 각각 표시한 뒤 비교해야 한다”고 풀이 이유를 설명했다. 이어 P와 Q의 값을 원래 문장에 다시 넣어 왼쪽인지, 0에서 먼지까지 확인했다. 처음의 혼동을 힌트 없이 다시 찾아내고 같은 절차를 재현한 것이다. 괴전동중1수학과외에서도 이처럼 답만 확인하지 않고, 조건을 읽은 순서와 근거가 끝까지 남는 풀이를 중심으로 진행할 수 있다.