괴전동 중2수학과외

분모를 먼저 보았던 한 줄에서 시작된 순환소수 풀이

괴전동과외 수업에서 학생은 순환소수의 자리값을 이용해 특정 자리의 숫자를 찾는 서술형 문제를 풀고 있었다. 태왕메트로시티와 대구지식산업작은도서관이 있는 생활권이라는 배경도 문제의 숫자와는 관계가 없었다.

계산보다 먼저 세운 판단

문제는 다음과 같았다.

분수 18/45를 소수로 나타낼 때 소수점 아래 20번째 숫자를 구하고, 유한소수인지 순환소수인지 설명하여라.

학생은 분수의 분모 45에 3과 5가 들어 있다는 점에 동그라미를 쳤다. 이어 “분모에 3이 있으므로 순환소수”라고 적고, 45를 18로 나누는 긴 나눗셈을 시작하려 했다. 아직 약분하지 않았는데도 20번째 자리까지 계산해야 한다고 판단한 것이다. 계산 전 표시 자체는 좋았지만, 그 표시를 기약분수로 고치기 전의 분모에 적용한 것이 첫 번째 어긋남이었다.

교사는 결과를 바로 고치지 않고 학생이 적은 문장으로 돌아갔다. “45의 3이 약분으로 사라질 수 있는지 확인했니?”라고 묻자 학생은 분자와 분모에 모두 9가 들어 있음을 뒤늦게 표시했다. 이때 문제는 긴 나눗셈을 못한 것이 아니라, 분모의 조건을 확인하는 시점을 잘못 고른 데 있었다.

기약분수 뒤에 남는 분모만 판단하기

학생은 기존에 적어 둔 숫자 표시와 풀이 순서는 유지하고, 분수 앞에 한 줄만 추가했다.

18/45 = 2/5

그다음 기약분수의 분모 5를 소인수로 확인했다. 분모에 2와 5만 있으므로 유한소수이고, 실제로 2/5 = 0.4 = 0.4000…이라고 적었다. 소수점 아래 20번째 숫자를 묻는 질문에는 0.4 뒤에 붙은 0을 세어 “20번째 숫자는 0”이라고 답했다. 0.4000…의 자리값을 1번째는 4, 2번째부터 20번째까지는 0으로 따로 표시해, 유한소수를 순환소수처럼 반복 계산하지 않았다.

교정은 하나였다. 분모의 인수는 반드시 기약분수로 만든 뒤 확인한다. 처음에 표시한 분모 구조를 버린 것이 아니라, 약분을 끝낸 다음 같은 확인을 다시 하도록 순서만 바꿨다. 학생은 18과 45에서 공약수 9를 먼저 지우고, 남은 2와 5를 확인해야 한다는 이유를 자신의 풀이 옆에 짧게 적었다.

표와 문장으로 바꾸어 확인한 적용

다음 문제에서는 식을 바로 계산하지 않고 표를 채웠다. 각 분수를 먼저 기약분수로 만든 뒤, 남은 분모의 인수를 보고 소수의 형태를 분류하는 방식이었다.

• 6/15 → 2/5 : 분모에 5만 남으므로 유한소수, 2/5=0.4
• 7/24 : 분모가 2³×3이므로 순환소수
• 11/40 : 분모가 2³×5이므로 유한소수, 11/40=0.275

이번에는 숫자만 바꾼 계산이 아니라 질문의 방향을 바꾸었다. “소수점 아래 15번째 숫자가 6일 때 가능한 분수는 어느 것인가?”라는 문장에서 학생은 먼저 유한소수와 순환소수를 나누었다. 6/15는 0.4000…이라 15번째 숫자가 0이고, 11/40은 0.275000…이라 15번째 숫자도 0이다. 7/24는 0.291666…이므로 반복되는 6이 소수점 아래 4번째부터 이어져 15번째 숫자도 6이라고 설명했다.

또 “분모에 3이 보이면 무조건 순환소수인가?”라는 문장을 보고는 18/45를 반례로 들었다. 약분 전에는 45에 3이 있지만 기약분수는 2/5이므로 유한소수가 된다는 설명까지 표 아래에 덧붙였다.

힌트 없이 다시 세운 첫 기준

수업의 끝에는 새 문제를 제시했다.

분수 42/70을 소수로 나타낼 때 소수점 아래 12번째 숫자를 구하고, 판단 근거를 쓰시오.

학생은 아무 표시를 기다리지 않고 “먼저 42와 70을 약분해서 기약분수로 만들겠다”고 말했다. 실제로 42/70=3/5=0.6을 적은 뒤, 기약분수의 분모 5에는 2와 5 이외의 소인수가 없으므로 유한소수라고 설명했다. 0.6000…을 자리별로 확인해 12번째 숫자를 0이라고 답했고, 마지막으로 “약분 전 분모 70을 보고 판단하지 않은 이유는 약분으로 분모의 구조가 바뀔 수 있기 때문”이라고 검산 근거를 스스로 말했다.