괴전동 중3수학과외
괴전동 중3수학과외, 근호가 같은 항만 뺄 수 있었던 풀이
괴전동과외 수업에서 제곱근 식을 정리하던 중, 한 학생이 다음 풀이를 시간 제한 안에 완성했습니다. 괴전동 생활권의 태왕메트로시티와 대구지식산업작은도서관 인근에서 자주 접하는 중학생 문제 유형과 비슷하지만, 이번에 확인한 범위는 동류근을 구별하여 뺄셈하는 판단 하나로 한정했습니다. 강동중학교가 포함된 생활권에서 이 유형을 연습하는 학생도 같은 방식으로 풀이 기록을 점검할 수 있습니다.
계산하시오.
5√3 - 2√5 + √3 - 4√5
학생의 풀이 기록에서 먼저 멈춘 지점
학생은 제한 시간을 의식해 식을 보자마자 근호 앞의 계수만 표시했습니다.
5√3 - 2√5 + √3 - 4√5
그 뒤 계수들을 앞에서부터 묶어
(5 - 2 + 1 - 4)√3 = 0
이라고 적었습니다. 계산 자체는 빠르고, 계수의 덧셈과 뺄셈도 틀리지 않았습니다. 하지만 이 식에서 가장 먼저 어긋난 판단은 근호의 종류를 확인하지 않은 채 모든 항을 하나의 묶음처럼 본 것입니다. √3과 √5는 서로 다른 근호이므로 계수만 모아 한 번에 계산할 수 없습니다. 이 판단이 계산보다 먼저 잘못되었고, 그 결과 0이라는 답이 만들어졌습니다.
식에 선을 그어 근호를 먼저 분류하다
풀이를 다시 쓰면서 학생은 계산 전에 근호 부분이 같은 항에만 표시했습니다.
- √3을 포함한 항: 5√3, +√3
- √5를 포함한 항: -2√5, -4√5
이제 같은 근호를 가진 항끼리만 계수를 계산합니다.
5√3 + √3 = 6√3
-2√5 - 4√5 = -6√5
따라서 전체 식은
6√3 - 6√5
입니다. 처음에 계산한 계수의 합을 억지로 살려 두지 않고, 근호가 같은 두 묶음으로 다시 나누었습니다. √3 묶음과 √5 묶음은 서로 합칠 수 없으므로 여기서 정리를 멈춥니다.
표현을 바꾼 한 번의 독립 적용
다음 문제에서는 항의 순서와 부호를 바꾸고, 괄호 안에 뺄셈을 넣었습니다. 단순히 숫자만 바꾼 문제가 아니라 어떤 항끼리 묶어야 하는지를 먼저 판단해야 하는 형태입니다.
다음을 간단히 하시오.
√7 - (3√2 - 5√7) - 2√2
학생은 괄호를 계산하기 전에 식에 나타난 근호를 확인하고, √7을 포함한 항과 √2를 포함한 항을 따로 표시했습니다. 괄호 앞의 뺄셈을 반영해 식을
√7 - 3√2 + 5√7 - 2√2
로 바꾼 뒤에도 바로 계수를 한꺼번에 계산하지 않았습니다. √7 항은 √7과 5√7이므로
1√7 + 5√7 = 6√7
√2 항은 -3√2와 -2√2이므로
-3√2 - 2√2 = -5√2
입니다. 따라서 결과는 6√7 - 5√2입니다. 여기서 중요한 것은 괄호를 처리했다는 사실보다, 정리한 뒤에도 같은 근호끼리만 계수를 계산했다는 점입니다.
힌트 없이 확인한 마지막 문제
며칠 뒤에는 풀이 순서를 알려 주지 않고 다음 식을 제시했습니다.
2√11 - 4√6 + 3√6 - √11
학생은 먼저 √11 항을 2√11과 -√11로, √6 항을 -4√6과 3√6으로 나누어 표시했습니다. 이어서
2√11 - √11 = √11
-4√6 + 3√6 = -√6
이라고 계산해 √11 - √6을 얻었습니다.
학생은 답만 적지 않고 “정리 전에는 √11과 √6 두 종류가 있었고, 정리 후에도 √11과 √6이 각각 한 항씩 남았다. 서로 다른 근호의 항을 합치지 않았으므로 더 계산하지 않는다”라고 설명했습니다. 마지막으로 원래 식을 다시 두 묶음으로 나누어 (2-1)√11 + (-4+3)√6과 같은지 확인했습니다. 이번에는 힌트 없이도 근호의 종류를 먼저 고르고, 같은 근호의 계수만 계산하는 기준을 스스로 재현했습니다.
이처럼 괴전동중3수학과외에서는 풀이 속도보다 계산 직전의 표시가 결과를 좌우하는 장면을 기록합니다. 동류근을 구별하는 한 가지 기준만 지켜도 서로 다른 근호를 잘못 합치는 오류를 막을 수 있습니다.