신당동 중등수학과외

신당동중등수학과외, -3x<6에서 부등호 방향과 -2 포함 여부 확인하기

-3x<6을 푸는 일차부등식에서 답을 결정하는 조건은 x에 붙은 -3으로 양변을 나누는 순간입니다. 이때 -3은 음수이므로 부등호 방향이 바뀌어야 합니다. 따라서 6을 -3으로 나누면 -2가 되고, 식은 x>-2가 됩니다. 신당동중등수학과외 수업에서는 답만 적는 데서 멈추지 않고, 왜 -2보다 큰 수가 해가 되는지와 경계값 -2가 포함되지 않는 이유를 함께 확인하는 방식으로 풀이를 다룹니다.

음수로 나누는 줄에서 부등호가 바뀌는 이유

학생이 -3x<6을 x<-2라고 적었다면, -3으로 나누었다는 계산은 했지만 부등호 방향을 그대로 둔 경우를 먼저 살펴볼 수 있습니다. 양변에 음수를 곱하거나 음수로 나누면 수직선에서 수의 순서가 뒤집히므로 대소 관계도 반대로 써야 합니다. 예를 들어 1<2의 양변에 -1을 곱하면 -1>-2가 됩니다. 같은 원리를 식에 적용해 -3x<6의 양변을 -3으로 나누면 x>-2가 됩니다. 풀이 종이에는 ‘÷(-3) → 부등호 반대’라고 한 줄에 함께 표시해, 나누기와 방향 변화가 떨어진 규칙처럼 보이지 않게 합니다.

수직선 뒤집기 카드는 -2를 기준으로 오른쪽과 왼쪽을 눈으로 구분하게 돕습니다. x>-2는 -2의 오른쪽을 뜻하고, x<-2는 왼쪽을 뜻합니다. 여기서 “양변을 음수로 나누면 대소 관계는 어떻게 달라질까?”라고 짧게 묻고, 학생이 부등호를 반대로 바꾼다는 말과 기호를 모두 연결하는지 확인합니다. 한 번의 누락만으로 개념을 모른다고 정하지 않고, 이 표시를 다시 했을 때 판단이 이어지는지를 봅니다.

-2는 경계이지만 기본 과제의 해는 아니다

x>-2에서 -2는 해의 시작 위치를 알려 주는 경계값이지만, ‘>’에는 등호가 없으므로 해에 포함되지 않습니다. 이를 원식으로 확인하면 더 분명합니다. x=-2를 대입할 때 -3×(-2)<6은 6<6이 되어 거짓입니다. 반면 경계 오른쪽의 x=-1을 대입하면 3<6으로 참이므로 x>-2라는 범위와 맞습니다. 경계 왼쪽의 x=-3에서는 9<6이 거짓입니다. 해 범위표에 -2, -1, -3을 나란히 적고 참·거짓을 표시하면, 부등호 방향과 수직선의 빈 점이 같은 판단을 가리킨다는 점을 확인할 수 있습니다.

처음 적은 식을 지우기보다 남겨 두고, x<-2에서 x>-2로 바꾼 이유를 바로 옆에 적게 합니다. 단순히 ‘부등호를 바꾼다’고 암기하는 것보다, -3으로 나눈 순간에만 방향이 바뀌며 경계의 포함 여부는 원래 부등호의 등호 유무로 정해진다는 구분이 중요합니다.

등호가 추가된 비교 식에서 범위를 스스로 판별하기

비교 과제는 -3x≤6입니다. 계수 -3과 나누는 과정은 기본 과제와 같으므로 양변을 -3으로 나눌 때 부등호 방향을 바꿔 x≥-2가 됩니다. 달라진 점은 원래 식에 등호가 있다는 것입니다. 그래서 이번에는 -2를 포함하며, 수직선에는 -2에 채운 점을 찍고 오른쪽으로 표시합니다. x=-2를 원식에 대입하면 6≤6이 되어 참이고, x=-1을 넣으면 3≤6으로 참입니다. 반대로 x=-3이면 9≤6은 거짓입니다. 경계와 양쪽 값을 확인한 결과가 x≥-2와 일치합니다.

다음 확인에서는 도움 없이 두 식의 해를 각각 쓰고, -2 자체가 어느 식에 포함되는지 원식 대입으로 설명하게 합니다. 음수로 나눌 때 방향을 바꾼 근거와 ‘<’·‘≤’가 경계점에 만드는 차이를 함께 말하거나 표시할 수 있는지가 다음 단계의 기준입니다. 계산은 맞았지만 경계점을 설명하지 못한다면, 수직선의 빈 점과 채운 점을 다시 원식의 참·거짓에 연결해 확인합니다.