신당동 중3수학과외
신당동 중3수학과외, 근호의 곱셈을 분리해서 읽는 연습
신당동과외 수업에서 오답노트를 펼쳤을 때, 한 학생이 풀이 과정을 지우지 않고 그대로 가져왔습니다. 대구성서1과 성서주공2단지아파트가 있는 생활권, 그리고 월서중학교가 포함된 생활권에서 자주 접할 수 있는 중3 수준의 근호 계산 문제였습니다. 문제는 다음과 같았습니다.
√12 × 2√3을 가장 간단한 꼴로 나타내시오.
학생의 답안에는 다음 식이 적혀 있었습니다.
√12 × 2√3 = √24 × 2 = 2√24
마지막에 다시 계산하여 4√6이라고 적었지만, 풀이 중간부터 식의 의미가 흔들리고 있었습니다. 오답노트를 복기할 때 유형명이나 해설을 먼저 보지 않고, 학생이 실제로 무엇을 보고 손을 움직였는지부터 확인했습니다.
계산이 틀어지기 전, 눈에 들어온 한 부분
학생은 √12의 근호 안 수와 √3의 근호 안 수를 먼저 곱한 뒤, 앞에 있는 2를 나중에 붙였습니다. 예제에서 비슷한 순서로 계산했던 기억이 남아 있었기 때문입니다. 그러나 이 식에서 처음 확인해야 할 대상은 ‘근호 밖의 계수’와 ‘근호 안의 수’입니다.
√12에는 겉으로 드러난 계수가 1이고, 2√3에는 계수 2가 있습니다. 따라서 두 수의 곱은
√12 × 2√3 = (1×2)√(12×3)
처럼 계수끼리, 피근수끼리 나누어 보아야 합니다. 학생의 최초 판단은 계수와 피근수를 한 번에 섞어 계산한 것이었습니다. √24 뒤에 2를 붙이는 과정은 이미 2를 계수로 처리했는데 다시 별도로 붙인 셈이어서, 같은 요소를 두 번 반영하게 됩니다.
한 줄의 기준으로 다시 세운 식
교정은 여러 계산법을 추가하는 방식이 아니라, 처음 곱셈식을 두 묶음으로 나누어 쓰는 것에 집중했습니다.
√12 × 2√3
= (1×2)√(12×3)
= 2√36
= 2×6
= 12
학생이 처음 적었던 √12를 2√3과 곱하는 상황에서, 계수끼리 먼저 1×2로 묶고 피근수끼리 12×3으로 묶자 계산이 한눈에 보였습니다. √36은 6이므로 최종값은 12입니다. 처음의 2√24라는 식은 2×√24이므로 2×2√6=4√6이 되어 12와 같지 않습니다. 따라서 중간 표현부터 잘못된 것입니다.
학생이 사용할 판단 기준은 하나로 정리했습니다.
- 근호 밖의 계수는 계수끼리 곱하고, 근호 안의 수는 피근수끼리 곱한 뒤 근호를 간단히 한다.
표현을 바꾼 문제에 같은 기준 적용하기
다음에는 앞뒤 모양과 부호가 달라진 식을 제시했습니다. 단순히 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 계수가 두 번째 근호 앞이 아니라 첫 번째 항에 있고, 한 항은 음수인 형태였습니다.
-3√5 × √45를 가장 간단한 수로 나타내시오.
학생은 먼저 계수 부분을 확인하고, √45를 뒤의 √5와 곱하는 식으로 기록했습니다.
-3√5 × √45
= (-3×1)√(5×45)
= -3√225
= -3×15
= -45
이번에는 식의 모양이 달라졌지만 계수끼리와 피근수끼리 나누는 기준은 그대로 유지되었습니다. -3은 계수의 곱에 들어가고, 5와 45만 근호 안에서 곱해졌습니다. √225=15이므로 결과는 -45입니다. 근호의 위치를 보고 예제 순서를 떠올리는 대신, 각 수를 계수와 피근수로 분리해 읽은 점이 달라졌습니다.
일주일 뒤, 풀이 이유까지 스스로 확인하다
일주일 뒤 신당동중3수학과외 시간에는 별도의 표시나 힌트 없이 다음 문제를 풀게 했습니다.
2√14 × (-√56)의 값을 구하고, 곱셈 전후가 맞는지 간단한 수로 검산하시오.
학생은 바로 다음과 같이 적었습니다.
2√14 × (-√56)
= (2×-1)√(14×56)
= -2√784
= -2×28
= -56
이어서 “근호 밖 계수는 2와 -1을 곱하고, 근호 안 피근수는 14와 56을 곱해야 하므로 이렇게 썼다”고 설명했습니다. 검산에서는 √14×√56을 각각 제곱하여 생각하지 않고, 곱한 식의 제곱을 비교했습니다.
원래 식의 절댓값 부분은 2√14×√56이고, 제곱하면
(2√14×√56)² = 4×14×56 = 3136 = 56²
입니다. 원래 식은 음수이므로 값은 -56이어야 합니다. 실제 풀이 결과와 검산 결과가 일치하면서, 학생은 숫자를 외워 맞힌 것이 아니라 계수와 피근수를 나누어 곱하는 기준을 새 식에서도 스스로 선택했습니다.
이처럼 근호가 있는 수의 곱셈에서는 계산 속도보다 곱셈 대상을 분리해 기록하는 첫 판단이 중요합니다. 작은숲도서관 인근 생활권에서 학습하든 학교 과제에서 연습하든, 식의 모양이 바뀌었을 때도 같은 기준을 유지하는지가 핵심입니다.