신당동 중1수학과외

신당동 중1수학과외에서 확인한 최대공약수와 최소공배수의 선택

문제는 “24개와 36개를 똑같이 나누어 남김없이 묶을 때 만들 수 있는 가장 큰 묶음의 수는 얼마인가?”였다. 성서주공2단지아파트와 작은숲도서관 인근 생활권에서 접할 법한 묶음 상황으로 바꾸어 읽었지만, 학생의 시선은 문제 속 ‘가장 큰’이라는 말보다 앞서 외웠던 예제 순서에 머물러 있었다.

답을 고르기 전, 수의 구조부터 적다

학생은 공책에 24=2×12, 36=3×12라고 쓴 뒤 “공통으로 12가 있으니 12?”라고 표시했다. 계산 자체는 맞았지만, 12가 두 수의 공통 약수인지 확인하는 과정과 ‘묶음의 수’가 무엇을 뜻하는지 연결하지 않았다. 더 중요한 최초의 어긋남은 문제의 대상인 ‘가장 큰 묶음의 수’를 읽기 전에 익숙한 예제에서 본 최대공약수라는 이름을 먼저 떠올린 것이었다. 이름을 고른 뒤 수를 맞추려 하니, 최소공배수가 필요한 문제와 구별할 기준이 사라졌다.

풀이를 되돌릴 때는 이미 적은 곱셈을 지우지 않고, 두 수를 소인수의 곱으로 다시 나누어 적었다.

24=2×2×2×3=2³×3
36=2×2×3×3=2²×3²

그다음 학생은 각 소인수가 두 수에 함께 들어 있는 횟수만 표시했다. 2는 두 번, 3은 한 번까지 공통으로 사용할 수 있으므로 2²×3=12라고 정리했다. 이 수가 24와 36을 모두 나누는지 24÷12=2, 36÷12=3으로 확인하자 ‘가장 큰 묶음의 수’가 왜 최대공약수인지 설명할 수 있었다. 단순히 답을 바꾼 것이 아니라, 공통인 소인수를 가장 많이 모은 값이라는 근거를 첫 식 옆에 남긴 것이다.

같은 개념을 다른 질문으로 옮겨 보기

다음 문제에서는 숫자를 바꾸지 않고 질문의 방향을 바꾸었다. “24분마다 출발하는 버스와 36분마다 출발하는 버스가 지금 함께 출발했다. 다시 동시에 출발하는 가장 빠른 때는?”이라는 문장을 제시했다. 학생은 앞 문제의 12를 그대로 쓰려 했지만, 이번에는 ‘두 수를 모두 나누는 수’를 찾는 것이 아니라 두 시간 간격에 함께 들어맞는 시점을 찾는 것임을 문장에 표시했다.

이번에는 소인수분해 결과에서 각 소인수의 지수를 작은 쪽이 아니라 큰 쪽으로 선택했다.

2³×3²=72

24×3=72, 36×2=72이므로 72분 뒤에 두 출발이 다시 겹친다고 적었다. 이어서 학생이 직접 질문을 바꾸어 “두 수의 배수 중 가장 작은 공통 수는?”이라고 썼고, 같은 72를 얻었다. 반대로 “두 수를 모두 나누면서 가장 큰 수는?”으로 바꾸면 12가 된다는 점도 나란히 비교했다. 같은 소인수와 지수를 보더라도 ‘나누는 수’를 찾는지 ‘배수가 되는 수’를 찾는지에 따라 선택 기준이 달라진다는 사실이 드러났다.

힌트 없이 다시 세운 풀이

다음날 신당동중1수학과외 복습에서는 풀이 순서를 알려 주지 않고 “30과 45를 여러 방식으로 묻겠다”는 조건만 제시했다. 학생은 먼저 문제의 동사를 읽었다. “가장 큰 수로 똑같이 나눈다”에서는 최대공약수, “가장 빠르게 함께 반복된다”에서는 최소공배수라고 판단한 뒤, 곧바로 소인수분해를 시작했다.

30=2×3×5, 45=3²×5
최대공약수: 3×5=15
최소공배수: 2×3²×5=90

학생은 15를 원래 수에 대입해 30÷15=2, 45÷15=3으로 확인했고, 90은 30×3=90, 45×2=90으로 되돌려 보았다. 또 공약수 후보가 15보다 클 수 없는 이유를 “공통으로 남길 수 있는 3은 한 개, 5는 한 개뿐이고 2는 45에 없기 때문”이라고 설명했다. 90보다 작은 공배수가 없는 이유도 “30과 45에 필요한 소인수의 지수를 모두 확보해야 하므로 2×3²×5보다 작게 만들 수 없다”고 말했다.

마지막으로 학생은 숫자나 문제 모양을 외워 답하지 않고, 나누어 가장 크게인지 배수 중 가장 작게인지 먼저 구분한 뒤 소인수의 공통 부분과 필요한 전체 부분을 선택했다. 답을 원래 조건에 다시 넣어 확인하는 과정까지 스스로 이어 간 것이 이번 풀이 사건의 최종 검증이었다.