도림동 중등수학과외

도림동중등수학과외, y/x와 xy를 직접 비교해 정비례·반비례를 판단하는 방법

중등 기초 과정에서 정비례와 반비례를 배운 뒤에도, 표의 수가 바뀌면 앞에서 쓴 식을 그대로 적용해도 되는지 망설일 수 있습니다. 이번 기본 표는 x=1, 2, 4일 때 y=15, 30, 60이고, 무엇을 구하는지는 x와 y의 관계입니다. 각 행에서 y÷x를 계산하면 15÷1=15, 30÷2=15, 60÷4=15로 모두 15입니다. 따라서 y는 x의 15배이고 식은 y=15x입니다. 반면 비교 표는 같은 x값에 y=60, 30, 15가 대응하므로 먼저 ‘숫자가 달라도 같은 관계인가’를 확인해야 합니다. 도림동중등수학과외 수업에서는 답을 외우게 하기보다 표에 주어진 조건과 풀이 중에 덧붙인 가정을 구분하며 판단 근거를 남기게 합니다.

비가 일정한 기본 표에서 y=15x가 되는 이유

기본 표에는 x가 1에서 2로 2배가 될 때 y가 15에서 30으로 2배가 되고, x가 2에서 4로 다시 2배가 될 때 y도 30에서 60으로 2배가 됩니다. 다만 배수 변화만 보고 결론을 내리기보다 y/x를 각 행에 적어 보는 것이 정확합니다. 세 값이 모두 15이므로 y/x=15, 즉 y=15x입니다. 여기서 15는 x가 1만큼 늘어날 때 대응하는 y의 양을 뜻합니다. 그래프 카드로 보면 원점을 지나며 기울기가 15인 직선이 되고, 표의 세 점 (1,15), (2,30), (4,60)이 모두 그 직선 위에 놓입니다. 식을 검산할 때에도 x=4를 대입해 y=15×4=60이 되는지 확인하면 표의 값과 맞습니다. 이 과정은 ‘x와 y가 함께 늘었다’는 인상보다 비가 일정하다는 조건을 근거로 정비례를 말하게 합니다.

같은 x값이라도 비교 표에서는 곱을 먼저 확인하기

비교 표에서는 x=1, 2, 4에 각각 y=60, 30, 15가 대응합니다. 기본 표의 y=15x를 바로 대입하면 x=2일 때 y=30은 맞아 보일 수 있지만, x=1이면 15가 되어 표의 60과 맞지 않습니다. 한 행의 우연한 일치만으로 같은 식이라고 정할 수 없는 이유입니다. 두 표를 나란히 놓고 y/x와 xy를 각각 계산하면 차이가 분명해집니다. 비교 표의 비는 60/1=60, 30/2=15, 15/4=3.75로 일정하지 않습니다. 그러나 곱은 1×60=60, 2×30=60, 4×15=60으로 모두 60입니다. 따라서 xy=60, 또는 y=60/x이며 반비례 관계입니다. x가 커질수록 y가 작아지는 모습만으로 판단하지 않고, 곱이 일정한지까지 확인해야 합니다. 그래프도 정비례의 직선과 달리 원점을 지나는 직선이 아니라 xy=60을 만족하는 점들의 곡선 형태로 나타납니다.

풀이의 첫 줄을 스스로 선택했는지로 다음 학습을 확인

교정할 때는 두 표에서 x값은 1, 2, 4로 유지되지만 y의 대응값과 일정하게 남는 양이 달라진다는 부분에 표시합니다. 이어 “두 번째 표에서는 xy가 일정한가요?”라고 짧게 묻고, 각 행의 곱을 적어 60이 반복되는지 확인하게 합니다. 이 질문은 비교 표의 정답을 대신 알려 주기 위한 것이 아니라, 막힌 위치가 조건 읽기인지 관계 선택인지 살피기 위한 기준입니다. 다음에는 같은 비교 표를 혼자 풀 때 첫 줄에 y/x를 쓸지, xy를 쓸지 스스로 선택하고 계산 근거를 남기는지 확인합니다. y/x가 모두 같다고 적으면 어떤 행에서 달라지는지 다시 대조하고, xy=60이라고 적으면 세 행의 곱을 실제로 복원해 검산합니다. 두 질문에 근거와 함께 답하고 비교 표를 독립적으로 처리할 수 있을 때, 그다음에 수치나 표의 배열을 바꾼 정비례·반비례 문제로 넓혀 볼 수 있습니다.